2х²+9х+7/4х²-49=0
Чтобы решить уравнение \( \frac{2x^2 + 9x + 7}{4x^2 - 49} = 0 \), давайте рассмотрим его шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание дробного уравнения
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. Поэтому нам нужно сначала решить уравнение числителя:
\[ 2x^2 + 9x + 7 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 2 \), \( b = 9 \), и \( c = 7 \).
Подставим значения:
- \( b^2 = 9^2 = 81 \)
- \( 4ac = 4 \cdot 2 \cdot 7 = 56 \)
Теперь находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 81 - 56 = 25 \]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных решения.
Находим корни:
- \( x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)
- \( x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 5}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \)
Таким образом, мы получили два корня:
\[ x_1 = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{7}{2} \]
Шаг 3: Проверка знаменателя
Теперь нам необходимо убедиться, что знаменатель не равен нулю для найденных корней.
Знаменатель:
\[ 4x^2 - 49 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 4x^2 = 49 \] \[ x^2 = \frac{49}{4} \] \[ x = \frac{7}{2} \quad \text{или} \quad x = -\frac{7}{2} \]
Шаг 4: Исключение корней
Мы видим, что \( x = -\frac{7}{2} \) — это корень, при котором знаменатель равен нулю. То есть это решение недопустимо, так как дробь не может принимать значение при нулевом знаменателе.
Окончательный ответ
Остаётся только один корень:
\[ x = -1 \]
Таким образом, решение уравнения \( \frac{2x^2 + 9x + 7}{4x^2 - 49} = 0 \) — это \( x = -1 \).
