Реши задачу с рисунка

Давайте упростим выражение шаг за шагом. Задано выражение: \[ \sqrt{ \left( 1 - \sqrt{5} \right)^2 } \cdot \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} \] ### 1. Упрощение \(\sqrt{\left( 1 - \sqrt{5} \right)^2}\) Используем формулу квадратов разности: \[ (1 - \sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\sqrt{5} \] Следовательно, \(\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2} = |1 - \sqrt{5}|\). Поскольку подкоренное выражение положительное, получаем: \[ |1 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 1 \] ### 2. Замена в выражении Теперь подставим \(\sqrt{5} - 1\) вместо \(\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2}\): \[ (\sqrt{5} - 1) \cdot \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} \] ### 3. Упрощение \((\sqrt{5} - 1) \cdot \sqrt{5}\) Раскрываем скобки: \[ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 1 \cdot \sqrt{5} = 5 - \sqrt{5} \] ### 4. Собираем все части Теперь заменим и упростим: \[ (5 - \sqrt{5}) + 2\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} \] Преобразовав числа: \[ = 6 + \sqrt{5} - \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} \] ### 5. Упрощение \(\sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16}\) Видно, что это полный квадрат: \[ 6 - 8\sqrt{6} + 16 = (\sqrt{6} - 4)^2 \] Поэтому \[ \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} = |\sqrt{6} - 4| = 4 - \sqrt{6} \quad (\text{поскольку } \sqrt{6} < 4) \] ### 6. Замена и финальное упрощение Подставим: \[ 6 + \sqrt{5} - (4 - \sqrt{6}) = 6 + \sqrt{5} - 4 + \sqrt{6} \] Упростим: \[ = 2 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \] Таким образом, упрощенное выражение: \[ 2 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \]