реши задачу с рисунка
Давайте упростим выражение шаг за шагом.
Задано выражение:
\[ \sqrt{ \left( 1 - \sqrt{5} \right)^2 } \cdot \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} \]
1. Упрощение \(\sqrt{\left( 1 - \sqrt{5} \right)^2}\)
Используем формулу квадратов разности:
\[ (1 - \sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\sqrt{5} \]
Следовательно, \(\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2} = |1 - \sqrt{5}|\). Поскольку подкоренное выражение положительное, получаем:
\[ |1 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 1 \]
2. Замена в выражении
Теперь подставим \(\sqrt{5} - 1\) вместо \(\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2}\):
\[ (\sqrt{5} - 1) \cdot \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} \]
3. Упрощение \((\sqrt{5} - 1) \cdot \sqrt{5}\)
Раскрываем скобки:
\[ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 1 \cdot \sqrt{5} = 5 - \sqrt{5} \]
4. Собираем все части
Теперь заменим и упростим:
\[ (5 - \sqrt{5}) + 2\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} \]
Преобразовав числа:
\[ = 6 + \sqrt{5} - \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} \]
5. Упрощение \(\sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16}\)
Видно, что это полный квадрат:
\[ 6 - 8\sqrt{6} + 16 = (\sqrt{6} - 4)^2 \]
Поэтому
\[ \sqrt{6 - 8\sqrt{6} + 16} = |\sqrt{6} - 4| = 4 - \sqrt{6} \quad (\text{поскольку } \sqrt{6} < 4) \]
6. Замена и финальное упрощение
Подставим:
\[ 6 + \sqrt{5} - (4 - \sqrt{6}) = 6 + \sqrt{5} - 4 + \sqrt{6} \]
Упростим:
\[ = 2 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \]
Таким образом, упрощенное выражение:
\[ 2 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \]
