Через точку A прямой a проведены три прямые, перпендикулярные a . Сколько различных плоскостей проходит через каждые две такие прямые (не считая a )

Решим задачу шаг за шагом.

Мы рассматриваем прямую \( a \) и три прямые, проведенные через точку \( A \) и перпендикулярные к прямой \( a \). Назовем эти прямые \( b_1, b_2, \) и \( b_3 \).

Понимание задачи

Прямые \( b_1, b_2, \) и \( b_3 \) расположены так, что они все проходят через одну и ту же точку \( A \) и перпендикулярны к одной прямой \( a \). Теперь нас интересует, сколько различных плоскостей можно провести через любые две из этих трех прямых.

Плоскость, определяемая прямыми

В геометрии две разные прямые, которые не параллельны, определяют единственную плоскость. В нашем случае у нас имеется три прямые \( b_1, b_2, \) и \( b_3 \).

Комбинации прямых

Нам нужно выбрать любые две прямые из трех. Это можно сделать с помощью комбинаторного числа: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае \( n = 3 \) (количество прямых) и \( k = 2 \) (количество прямых, которые мы хотим выбрать). Таким образом, нам нужно вычислить \( C_3^2 \): \[ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]

Результат

Каждая пара прямых \( b_1, b_2 \), \( b_1, b_3 \), и \( b_2, b_3 \) определяет уникальные плоскости. Поэтому мы получаем три различные плоскости, каждая из которых проходит через две из трех перпендикулярных прямых.

Итак, ответ на задачу: 3 различных плоскости проходят через каждые две из трёх прямых, перпендикулярных прямой a.