(4sinx × sin2x -sin^2 2x -4 + 4cos^2 x) / √(16-2^(x-5)^2 ) ≥ 0

Давайте решим неравенство

\[ \frac{4\sin x \times \sin 2x - \sin^2 2x - 4 + 4\cos^2 x}{\sqrt{16 - 2^{(x-5)}^2}} \geq 0 \]

по шагам.

Шаг 1: Упростим числитель

Начнем с числителя:

\[ 4\sin x \times \sin 2x - \sin^2 2x - 4 + 4\cos^2 x \]

Сначала заметим, что \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \). Подставим это в выражение:

\[ 4 \sin x (2 \sin x \cos x) - (2 \sin x \cos x)^2 - 4 + 4 \cos^2 x \]

Теперь упрощаем:

\[ 8 \sin^2 x \cos x - 4 \sin^2 x \cos^2 x - 4 + 4 \cos^2 x \]

Шаг 2: Выразим всё через синусы и косинусы

Заметим, что \( 4\cos^2 x = 4(1 - \sin^2 x) \):

\[ 8 \sin^2 x \cos x - 4 \sin^2 x \cos^2 x - 4 + 4 - 4 \sin^2 x = 8 \sin^2 x \cos x - 4 \sin^2 x \cos^2 x - 4 \sin^2 x \]

Объединим похожие члены:

\[ 8 \sin^2 x \cos x - (4 \sin^2 x \cos^2 x + 4 \sin^2 x) = \sin^2 x (8 \cos x - 4 \cos^2 x - 4) \]

Теперь получится следующее выражение:

\[ \sin^2 x (8 \cos x - 4 \cos^2 x - 4) \]

Шаг 3: Разложим числитель на множители

Не будем забывать о том, что \( \sin^2 x \geq 0 \) для всех \( x \). Поэтому единственное, что нам нужно делать, это решить неравенство:

\[ 8 \cos x - 4 \cos^2 x - 4 \geq 0 \]

То есть решим:

\[ -4 \cos^2 x + 8 \cos x - 4 \geq 0 \]

Умножим обе стороны на -1 (не забывая поменять знак):

\[ 4 \cos^2 x - 8 \cos x + 4 \leq 0 \]

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Для этого воспользуемся дискриминантом:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 4 \times 4 = 64 - 64 = 0 \]

Корень будет:

\[ \cos x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2 \cdot 4} = 1 \]

Шаг 5: Решим неравенство

Теперь нам нужно определить, где

\[ 4 \cos^2 x - 8 \cos x + 4 \leq 0 \]

Так как у нас один корень \( \cos x = 1 \) — это единственное значение, где многочлен равен нулю. Теперь нам нужно проанализировать изменение знака этого выражения.

Шаг 6: Проверим знаки на интервалах

• При \( \cos x < 1 \) многочлен положителен, а при \( \cos x = 1 \) становится равным нулю.

Таким образом, у нас есть:

\[ \cos x \leq 1 \quad \text{(всегда истинно)} \]

Шаг 7: Разберём делитель

Теперь переходим к знаменателю:

\[ \sqrt{16 - 2^{(x-5)}^2} \]

Эта часть не должна быть равной нулю, поэтому:

\[ 16 - 2^{(x-5)}^2 > 0 \] \[ 16 > 2^{(x-5)}^2 \] \[ 4 > |2^{(x-5)}| \]

Это дает:

\[ 2^{(x-5)} < 4 \implies x - 5 < 2 \implies x < 7 \] \[ -x + 5 < 2 \implies x > 3 \]

Шаг 8: Общий вывод

Таким образом, заключая, мы можем сказать, что

\[ 3 < x < 7 \]

Это решение нашего неравенства. Не забывайте, что сама функция под корнем должна быть неотрицательной.

Надеюсь, объяснение было понятным! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!