(4sinx × sin2x -sin^2 2x -4 + 4cos^2 x) / √(16-2^(x-5)^2 ) ≥ 0

Давайте решим неравенство \[ \frac{4\sin x \times \sin 2x - \sin^2 2x - 4 + 4\cos^2 x}{\sqrt{16 - 2^{(x-5)}^2}} \geq 0 \] по шагам. ### Шаг 1: Упростим числитель Начнем с числителя: \[ 4\sin x \times \sin 2x - \sin^2 2x - 4 + 4\cos^2 x \] Сначала заметим, что \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \). Подставим это в выражение: \[ 4 \sin x (2 \sin x \cos x) - (2 \sin x \cos x)^2 - 4 + 4 \cos^2 x \] Теперь упрощаем: \[ 8 \sin^2 x \cos x - 4 \sin^2 x \cos^2 x - 4 + 4 \cos^2 x \] ### Шаг 2: Выразим всё через синусы и косинусы Заметим, что \( 4\cos^2 x = 4(1 - \sin^2 x) \): \[ 8 \sin^2 x \cos x - 4 \sin^2 x \cos^2 x - 4 + 4 - 4 \sin^2 x = 8 \sin^2 x \cos x - 4 \sin^2 x \cos^2 x - 4 \sin^2 x \] Объединим похожие члены: \[ 8 \sin^2 x \cos x - (4 \sin^2 x \cos^2 x + 4 \sin^2 x) = \sin^2 x (8 \cos x - 4 \cos^2 x - 4) \] Теперь получится следующее выражение: \[ \sin^2 x (8 \cos x - 4 \cos^2 x - 4) \] ### Шаг 3: Разложим числитель на множители Не будем забывать о том, что \( \sin^2 x \geq 0 \) для всех \( x \). Поэтому единственное, что нам нужно делать, это решить неравенство: \[ 8 \cos x - 4 \cos^2 x - 4 \geq 0 \] То есть решим: \[ -4 \cos^2 x + 8 \cos x - 4 \geq 0 \] Умножим обе стороны на -1 (не забывая поменять знак): \[ 4 \cos^2 x - 8 \cos x + 4 \leq 0 \] ### Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения Для этого воспользуемся дискриминантом: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 4 \times 4 = 64 - 64 = 0 \] Корень будет: \[ \cos x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2 \cdot 4} = 1 \] ### Шаг 5: Решим неравенство Теперь нам нужно определить, где \[ 4 \cos^2 x - 8 \cos x + 4 \leq 0 \] Так как у нас один корень \( \cos x = 1 \) — это единственное значение, где многочлен равен нулю. Теперь нам нужно проанализировать изменение знака этого выражения. ### Шаг 6: Проверим знаки на интервалах - При \( \cos x < 1 \) многочлен положителен, а при \( \cos x = 1 \) становится равным нулю. Таким образом, у нас есть: \[ \cos x \leq 1 \quad \text{(всегда истинно)} \] ### Шаг 7: Разберём делитель Теперь переходим к знаменателю: \[ \sqrt{16 - 2^{(x-5)}^2} \] Эта часть не должна быть равной нулю, поэтому: \[ 16 - 2^{(x-5)}^2 > 0 \] \[ 16 > 2^{(x-5)}^2 \] \[ 4 > |2^{(x-5)}| \] Это дает: \[ 2^{(x-5)} < 4 \implies x - 5 < 2 \implies x < 7 \] \[ -x + 5 < 2 \implies x > 3 \] ### Шаг 8: Общий вывод Таким образом, заключая, мы можем сказать, что \[ 3 < x < 7 \] Это решение нашего неравенства. Не забывайте, что сама функция под корнем должна быть неотрицательной. Надеюсь, объяснение было понятным! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!