В крупном отделе компании 4 человека получают зарплату 80 тыс.р. в месяц, 11 человек получают 100 тыс. р., 7 человек получают по 120 тыс. р, и 3 человека – по 150 тыс. р. Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 180 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.

Для решения задачи начнем с того, что нам необходимо рассчитать общие выплаты сотрудникам и медиану этих выплат при распределении премии. **1. Определим количество сотрудников и их зарплаты:** - 4 человека получают 80 тыс. р. в месяц. - 11 человек получают 100 тыс. р. - 7 человек получают 120 тыс. р. - 3 человека получают 150 тыс. р. Общее количество сотрудников: \[ 4 + 11 + 7 + 3 = 25 \] **2. Найдем общую зарплату без учета премии:** - Общая зарплата для 4 человек по 80 тыс. р.: \[ 4 \times 80 = 320 \text{ тыс. р.} \] - Общая зарплата для 11 человек по 100 тыс. р.: \[ 11 \times 100 = 1100 \text{ тыс. р.} \] - Общая зарплата для 7 человек по 120 тыс. р.: \[ 7 \times 120 = 840 \text{ тыс. р.} \] - Общая зарплата для 3 человек по 150 тыс. р.: \[ 3 \times 150 = 450 \text{ тыс. р.} \] Суммарная зарплата всех сотрудников: \[ 320 + 1100 + 840 + 450 = 2710 \text{ тыс. р.} \] **3. Определим медиану зарплат без премии:** Теперь запишем зарплаты всех сотрудников в порядке возрастания: - 4 человека: 80 тыс. (4), - 11 человек: 100 тыс. (11), - 7 человек: 120 тыс. (7), - 3 человека: 150 тыс. (3). Порядок по зарплате: - 4 × 80, - 11 × 100, - 7 × 120, - 3 × 150. Таким образом, 25 зарплат будут выглядеть так: \[ 80, 80, 80, 80, \quad 100, 100, \ldots, 100 \quad (11 \text{ раз}), \quad 120, 120, \ldots, 120 \quad (7 \text{ раз}), \quad 150, 150, 150 \] Чтобы найти медиану, нам нужно взять 13-ю зарплату в упорядоченном списке (так как у нас 25 сотрудников). Итак: \[ 1-4: 80, \quad 5-15: 100, \quad 16-22: 120, \quad 23-25: 150 \] 13-я зарплата – это 100 тыс. р. **4. Распределение премий:** Теперь нужно распределить 180 тыс. р. так, чтобы медиана выплат стала наибольшей. Если мы добавим премии к более низким зарплатам, это поможет увеличить медиану. Чтобы найти оптимальное распределение премий, попробуем несколько вариантов. - Если всем 4 работникам, получающим 80 тыс. р., дать максимальные премии: - Даем каждому 45 тыс. р. (180 тыс. / 4 = 45 тыс. р.), чтобы они получили по: \[ 80 + 45 = 125 \text{ тыс. р.} \] Тогда зарплаты будут: 1. 4 человека по 125 тыс. р. 2. 11 человек по 100 тыс. р. 3. 7 человек по 120 тыс. р. 4. 3 человека по 150 тыс. р. Список их зарплат: \[ 125, 125, 125, 125, \quad 100, 100, \ldots, 100 \quad (11 \text{ раз}), \quad 120, 120, \ldots, 120 \quad (7 \text{ раз}), \quad 150, 150, 150 \] Теперь найдем медиану: Теперь нам нужно взять 13-ю зарплату в упорядоченном списке: Список: \[ 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, \quad 125, 125, 125, 125, \quad 150, 150, 150 \] 13-я зарплата – это 120 тыс. р. **5. Проверим, можно ли повысить медиану еще выше:** Если, например, добавить премию группе с зарплатой 100 тыс. р., ей можно дать 40 тыс. р. каждому (что тоже возможно сделать) и переопределить наш список. Однако мы видим, что это неэффективно, так как в таком случае можно снова получить 100 как медиану. Такой подход продемонстрировал, что лучшая стратегия заключается в том, чтобы повысить самых низких работников. **Наибольшая возможная медиана:** Таким образом, наибольшая возможная медиана выплат в декабре составит: \[ \boxed{120} \text{ тыс. р.} \]