В детском саду на утреннике дети встали в хоровод в случайном порядке. Какова вероятность того, что двойняшки Лена и Таня окажутся рядом, если в хороводе 11 детей?

Для решения данной задачи будем использовать принцип подсчета вероятностей. Начнем с разбора задачи и необходимых шагов.

Шаг 1: Общее количество способов расположить детей

Сначала найдем общее количество способов, которыми 11 детей могут встать в круг. Когда мы говорим о круговой перестановке, общее количество перестановок \( n \) объектов в круге равно \( (n-1)! \).

Таким образом, для 11 детей количество перестановок будет: \[ (11-1)! = 10! = 3628800 \]

Шаг 2: Считаем количество благоприятных исходов

Теперь нам нужно найти количество способов, в которых двойняшки Лена и Таня окажутся рядом друг с другом. Мы можем рассматривать Лену и Таню как одну "группу" или "блок", поскольку их расположение должно быть рядом. Таким образом, у нас будет 10 "детей": эта группа (Лена и Таня) и 9 остальных детей.

Теперь у нас 10 групп, которые мы можем расположить в круге. Количество способов расположить 10 объектов в круге будет: \[ (10-1)! = 9! = 362880 \]

Шаг 3: Внутренние перестановки группы двойняшек

Кроме того, внутри блока Лены и Тани они могут обменяться местами с друг с другом. То есть у нас есть 2 способа (Лена может быть первой, или Таня может быть первой).

Таким образом, общее количество благоприятных исходов, когда Лена и Таня стоят рядом, будет: \[ 9! \times 2 = 362880 \times 2 = 725760 \]

Шаг 4: Вероятность того, что двойняшки окажутся рядом

Теперь мы можем легко найти вероятность того, что Лена и Таня окажутся рядом: \[ P(\text{Лена и Таня рядом}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{725760}{3628800} \]

Шаг 5: Упрощение вероятности

Теперь упростим дробь: \[ P(\text{Лена и Таня рядом}) = \frac{725760 \div 725760}{3628800 \div 725760} = \frac{1}{5} \]

Ответ

Вероятность того, что двойняшки Лена и Таня окажутся рядом в хороводе из 11 детей, равна \( \frac{1}{5} \) или 20%.