Для решения данной задачи будем использовать принцип подсчета вероятностей. Начнем с разбора задачи и необходимых шагов.
Шаг 1: Общее количество способов расположить детей
Сначала найдем общее количество способов, которыми 11 детей могут встать в круг. Когда мы говорим о круговой перестановке, общее количество перестановок ( n ) объектов в круге равно ( (n-1)! ).
Таким образом, для 11 детей количество перестановок будет:
[
(11-1)! = 10! = 3628800
]
Шаг 2: Считаем количество благоприятных исходов
Теперь нам нужно найти количество способов, в которых двойняшки Лена и Таня окажутся рядом друг с другом. Мы можем рассматривать Лену и Таню как одну "группу" или "блок", поскольку их расположение должно быть рядом. Таким образом, у нас будет 10 "детей": эта группа (Лена и Таня) и 9 остальных детей.
Теперь у нас 10 групп, которые мы можем расположить в круге. Количество способов расположить 10 объектов в круге будет:
[
(10-1)! = 9! = 362880
]
Шаг 3: Внутренние перестановки группы двойняшек
Кроме того, внутри блока Лены и Тани они могут обменяться местами с друг с другом. То есть у нас есть 2 способа (Лена может быть первой, или Таня может быть первой).
Таким образом, общее количество благоприятных исходов, когда Лена и Таня стоят рядом, будет:
[
9! \times 2 = 362880 \times 2 = 725760
]
Шаг 4: Вероятность того, что двойняшки окажутся рядом
Теперь мы можем легко найти вероятность того, что Лена и Таня окажутся рядом:
[
P(\text{Лена и Таня рядом}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{725760}{3628800}
]
Шаг 5: Упрощение вероятности
Теперь упростим дробь:
[
P(\text{Лена и Таня рядом}) = \frac{725760 \div 725760}{3628800 \div 725760} = \frac{1}{5}
]
Ответ
Вероятность того, что двойняшки Лена и Таня окажутся рядом в хороводе из 11 детей, равна ( \frac{1}{5} ) или 20%.
