Решить На какой высоте (в км) над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на земной поверхности? Радиус Земли 6400 км.

Чтобы решить задачу, сначала разберемся с формулой для определения ускорения свободного падения на высоте h над поверхностью Земли. Ускорение свободного падения g на высоте h можно выразить через ускорение на поверхности Земли g₀ следующей формулой:

\[ g_h = \frac{g_0 R^2}{(R + h)^2} \]

где:

• \( g_h \) — ускорение свободного падения на высоте h,
• \( g_0 \) — ускорение свободного падения на поверхности Земли (приблизительно 9,81 м/с²),
• \( R \) — радиус Земли (6400 км или 6,4 × 10^6 м),
• \( h \) — высота над поверхностью Земли (в метрах).

В данной задаче мы ищем такую высоту h, при которой \( g_h \) в 16 раз меньше, чем \( g_0 \):

\[ g_h = \frac{g_0}{16} \]

Подставим это выражение в формулу для \( g_h \):

\[ \frac{g_0 R^2}{(R + h)^2} = \frac{g_0}{16} \]

Теперь можно сократить \( g_0 \) с обеих сторон уравнения (при условии, что \( g_0 \neq 0 \)):

\[ \frac{R^2}{(R + h)^2} = \frac{1}{16} \]

Теперь перекрестно умножим:

\[ 16R^2 = (R + h)^2 \]

Вычтем \( R^2 \) из обеих сторон:

\[ 16R^2 = R^2 + 2Rh + h^2 \]

Упростим уравнение:

\[ 15R^2 = 2Rh + h^2 \]

Это квадратное уравнение в форме \( h^2 + 2Rh - 15R^2 = 0 \). Теперь применим формулу корней квадратного уравнения:

\[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = 2R \), \( c = -15R^2 \).

Подставим значения:

\[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15R^2)}}{2 \cdot 1} \]

Упростим подкоренное выражение:

\[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + 60R^2}}{2} \] \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{64R^2}}{2} \] \[ h = \frac{-2R \pm 8R}{2} \]

Теперь найдем два возможных значения для h:

1. \( h_1 = \frac{6R}{2} = 3R \)
2. \( h_2 = \frac{-10R}{2} = -5R \) (это значение не имеет физического смысла, так как высота не может быть отрицательной)

Таким образом:

\[ h = 3R \]

Подставляем значение радиуса Земли \( R = 6400 \) км:

\[ h = 3 \cdot 6400 \text{ км} = 19200 \text{ км} \]

Теперь это значение в километрах можно записать как:

Ответ: Высота, на которой ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли, составляет 19200 км.