Чтобы решить задачу, сначала разберемся с формулой для определения ускорения свободного падения на высоте h над поверхностью Земли. Ускорение свободного падения g на высоте h можно выразить через ускорение на поверхности Земли g₀ следующей формулой:
[
g_h = \frac{g_0 R^2}{(R + h)^2}
]
где:
- ( g_h ) — ускорение свободного падения на высоте h,
- ( g_0 ) — ускорение свободного падения на поверхности Земли (приблизительно 9,81 м/с²),
- ( R ) — радиус Земли (6400 км или 6,4 × 10^6 м),
- ( h ) — высота над поверхностью Земли (в метрах).
В данной задаче мы ищем такую высоту h, при которой ( g_h ) в 16 раз меньше, чем ( g_0 ):
[
g_h = \frac{g_0}{16}
]
Подставим это выражение в формулу для ( g_h ):
[
\frac{g_0 R^2}{(R + h)^2} = \frac{g_0}{16}
]
Теперь можно сократить ( g_0 ) с обеих сторон уравнения (при условии, что ( g_0 \neq 0 )):
[
\frac{R^2}{(R + h)^2} = \frac{1}{16}
]
Теперь перекрестно умножим:
[
16R^2 = (R + h)^2
]
Вычтем ( R^2 ) из обеих сторон:
[
16R^2 = R^2 + 2Rh + h^2
]
Упростим уравнение:
[
15R^2 = 2Rh + h^2
]
Это квадратное уравнение в форме ( h^2 + 2Rh - 15R^2 = 0 ). Теперь применим формулу корней квадратного уравнения:
[
h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 2R ), ( c = -15R^2 ).
Подставим значения:
[
h = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15R^2)}}{2 \cdot 1}
]
Упростим подкоренное выражение:
[
h = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + 60R^2}}{2}
]
[
h = \frac{-2R \pm \sqrt{64R^2}}{2}
]
[
h = \frac{-2R \pm 8R}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения для h:
- ( h_1 = \frac{6R}{2} = 3R )
- ( h_2 = \frac{-10R}{2} = -5R ) (это значение не имеет физического смысла, так как высота не может быть отрицательной)
Таким образом:
[
h = 3R
]
Подставляем значение радиуса Земли ( R = 6400 ) км:
[
h = 3 \cdot 6400 \text{ км} = 19200 \text{ км}
]
Теперь это значение в километрах можно записать как:
Ответ: Высота, на которой ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли, составляет 19200 км.
