x² - 11x + 10 ≥ 0
Для решения неравенства \( x^2 - 11x + 10 \geq 0 \) будем следовать пошаговому процессу.
Шаг 1: Решим соответствующее уравнение
Сначала решим уравнение \( x^2 - 11x + 10 = 0 \). Это поможет нам найти корни, которые затем используем для анализа неравенства.
Для решения уравнения можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -11 \), \( c = 10 \).
Шаг 2: Подставим значения в формулу
Вычисляем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81 \]
Теперь находим корни \( x \): \[ x = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 9}{2} \]
Таким образом, получаем: \[ x_1 = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Шаг 3: Условия на знак неравенства
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 10 \) и \( x_2 = 1 \). Они разделяют числовую прямую на три промежутка:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( [1, 10] \)
- \( (10, +\infty) \)
Чтобы определить знаки выражения \( x^2 - 11x + 10 \) на этих интервалах, выберем тестовые точки:
Для \( x = 0 \) (из промежутка \( (-\infty, 1) \)): \[ 0^2 - 11 \cdot 0 + 10 = 10 \quad (\text{положительно}) \]
Для \( x = 5 \) (из промежутка \( [1, 10] \)): \[ 5^2 - 11 \cdot 5 + 10 = 25 - 55 + 10 = -20 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для \( x = 11 \) (из промежутка \( (10, +\infty) \)): \[ 11^2 - 11 \cdot 11 + 10 = 121 - 121 + 10 = 10 \quad (\text{положительно}) \]
Шаг 4: Записываем решение неравенства
Мы выяснили:
- На интервале \( (-\infty, 1) \) функция положительна (включаем 1, так как неравенство с равенством).
- На интервале \( [1, 10] \) функция отрицательна (не берем).
- На интервале \( (10, +\infty) \) функция положительна (включаем 10, так как неравенство с равенством).
Итак, мы можем заключить, что: \[ x^2 - 11x + 10 \geq 0 \quad \text{для} \quad x \in (-\infty, 1] \cup [10, +\infty) \]
Итоговое решение
Таким образом, решение неравенства \( x^2 - 11x + 10 \geq 0 \): \[ x \in (-\infty, 1] \cup [10, +\infty) \]
Обсуждение
2 сообщенияа как понять вот это ? a = 1>0 ветви вверх
В неравенствах и уравнениях второй степени (квадратных), как, например, \( ax^2 + bx + c = 0 \), знак \( a \) (коэффициент при \( x^2 \)) определяет направление ветвей параболы, которая графически представляет уравнение.
Основные моменты:
Если \( a > 0 \):
Парабола "открыта" вверх.
Это значит, что при больших значениях \( x \) (и больших отрицательных значениях \( x \)) \( y \) будет положительным, а в центре (между корнями) \( y \) может принимать отрицательные значения.
Ваша парабола будет выглядеть примерно так:
| | / \ | / \ | / \ |/ \ +---------+ -∞ +∞
Если \( a < 0 \):
Парабола "открыта" вниз.
Это означает, что при больших положительных и больших отрицательных значениях \( x \) \( y \) будет отрицательным, а в центре (между корнями) \( y \) будет положительным.
Ваша парабола будет выглядеть примерно так:
| | \ | \ | \ | \ +---------+ -∞ +∞
Почему это важно для неравенств:
Когда мы решаем неравенство \( ax^2 + bx + c \geq 0 \) или \( ax^2 + bx + c \leq 0 \), знак \( a \) говорит нам, в каких областях (интервалах) график функции будет находиться выше или ниже оси \( x \).
Если \( a > 0 \) (ветви вверх), то:
- Неравенство \( ax^2 + bx + c \geq 0 \) будет выполняться вне корней (в интервалах, где \( x \) меньше первого корня или больше второго).
Если \( a < 0 \) (ветви вниз), то:
- Неравенство \( ax^2 + bx + c \leq 0 \) будет выполняться вне корней.
Применение к вашему примеру:
В вашем случае \( a = 1 > 0 \), значит, парабола открыта вверх. Это значит, что значение \( x^2 - 11x + 10 \) будет положительным на интервалах, где \( x \) меньше первого корня \( 1 \) или больше второго корня \( 10 \). Поэтому решение неравенства происходит с учетом этих интервалов:
\[ x \in (-\infty, 1] \cup [10, +\infty) \]
Таким образом, знак \( a \) помогает определить, где функция будет положительной или отрицательной, что критически важно при решении квадратных неравенств.
