X² - 11x + 10 ≥ 0

Для решения неравенства \( x^2 - 11x + 10 \geq 0 \) будем следовать пошаговому процессу. ### Шаг 1: Решим соответствующее уравнение Сначала решим уравнение \( x^2 - 11x + 10 = 0 \). Это поможет нам найти корни, которые затем используем для анализа неравенства. Для решения уравнения можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -11 \), \( c = 10 \). ### Шаг 2: Подставим значения в формулу 1. Вычисляем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81 \] 2. Теперь находим корни \( x \): \[ x = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 9}{2} \] Таким образом, получаем: \[ x_1 = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \] ### Шаг 3: Условия на знак неравенства Теперь у нас есть корни \( x_1 = 10 \) и \( x_2 = 1 \). Они разделяют числовую прямую на три промежутка: 1. \( (-\infty, 1) \) 2. \( [1, 10] \) 3. \( (10, +\infty) \) Чтобы определить знаки выражения \( x^2 - 11x + 10 \) на этих интервалах, выберем тестовые точки: - Для \( x = 0 \) (из промежутка \( (-\infty, 1) \)): \[ 0^2 - 11 \cdot 0 + 10 = 10 \quad (\text{положительно}) \] - Для \( x = 5 \) (из промежутка \( [1, 10] \)): \[ 5^2 - 11 \cdot 5 + 10 = 25 - 55 + 10 = -20 \quad (\text{отрицательно}) \] - Для \( x = 11 \) (из промежутка \( (10, +\infty) \)): \[ 11^2 - 11 \cdot 11 + 10 = 121 - 121 + 10 = 10 \quad (\text{положительно}) \] ### Шаг 4: Записываем решение неравенства Мы выяснили: - На интервале \( (-\infty, 1) \) функция положительна (включаем 1, так как неравенство с равенством). - На интервале \( [1, 10] \) функция отрицательна (не берем). - На интервале \( (10, +\infty) \) функция положительна (включаем 10, так как неравенство с равенством). Итак, мы можем заключить, что: \[ x^2 - 11x + 10 \geq 0 \quad \text{для} \quad x \in (-\infty, 1] \cup [10, +\infty) \] ### Итоговое решение Таким образом, решение неравенства \( x^2 - 11x + 10 \geq 0 \): \[ x \in (-\infty, 1] \cup [10, +\infty) \]