Для решения задачи давайте разберем движения шарика, который бросили вертикально вверх. Нам нужно найти отношение средней скорости движения за первую половину времени подъема к средней скорости за вторую половину времени подъема.
Шаг 1: Определим время подъема
Шарик брошен вверх с начальной скоростью ( v_0 = 20 , \text{м/с} ). Ускорение свободного падения направлено вниз и составляет ( g = 9,81 , \text{м/с}^2 ). Мы знаем, что время подъема можно найти, используя формулу движения:
[
v = v_0 - g \cdot t
]
где ( v ) — конечная скорость (в момент достижения максимальной высоты ( v = 0 )), ( t ) — время.
Установим уравнение:
[
0 = 20 , \text{м/с} - 9,81 , \text{м/с}^2 \cdot t
]
Решаем это уравнение относительно ( t ):
[
9,81 , \text{м/с}^2 \cdot t = 20 , \text{м/с}
]
[
t = \frac{20 , \text{м/с}}{9,81 , \text{м/с}^2} \approx 2,04 , \text{с}
]
Это время, за которое шарик поднимется до максимальной высоты.
Шаг 2: Делим время подъема на две половины
Первая половина времени подъема:
[
t_1 = \frac{t}{2} \approx \frac{2,04 , \text{с}}{2} \approx 1,02 , \text{с}
]
Вторая половина времени подъема тоже ( t_1 = 1,02 , \text{с} ) (время от момента первого подъема к максимальной высоте).
Шаг 3: Находить среднюю скорость
Средняя скорость за первую половину подъема:
Для нахождения высоты, которую шарик поднимется за первую половину времени, использует формулу:
[
h_1 = v_0 \cdot t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2
]
Подставляем значения:
[
h_1 = 20 \cdot 1,02 - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot (1,02)^2
]
[
h_1 = 20 \cdot 1,02 - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot 1,0404 \approx 20.4 - 5.1 \approx 15.3 , \text{м}
]
Теперь найдем среднюю скорость за первую половину времени:
[
V_{ср1} = \frac{h_1}{t_1} = \frac{15.3}{1,02} \approx 15 , \text{м/с}
]
Средняя скорость за вторую половину подъема:
Максимальная высота ( H ), достигнутая шариком, может быть найдена так:
[
H = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = 20 \cdot 2,04 - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot (2,04)^2
]
[
H \approx 40.8 - 20.4 \approx 20.4 , \text{м}
]
За вторую половину времени шарик достигнет максимальной высоты, так что высота, преодоленная за вторую половину времени, будет:
[
h_2 = H - h_1 \approx 20.4 - 15.3 \approx 5.1 , \text{м}
]
Средняя скорость за вторую половину времени будет:
[
V_{ср2} = \frac{h_2}{t_1} = \frac{5.1}{1,02} \approx 5 , \text{м/с}
]
Шаг 4: Находить отношение средних скоростей
Теперь найдем отношение средней скорости за первую половину времени к средней скорости за вторую половину:
[
\frac{V_{ср1}}{V_{ср2}} = \frac{15}{5} = 3
]
Ответ:
Отношение средней скорости движения за первую половину времени подъема шарика к средней скорости вторая половина времени подъема равно ( \boxed{3} ).
