А Задание 1 (13 баллов). Площадь основания правильной четырёхугольной призмы равна 24 м2, а её диагональ равна 13 м. Найдите высоту призмы. Задание 2. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами AB = 12 см и BC = 16 см (см. рис.). Высота призмы равна 15 см. а) Найдите объём данной призмы (10 баллов). б) Постройте сечение, проходящее через ребро BB1 и середину стороны AC. Укажите название фигуры, которая является сечением (12 баллов). в) Найдите площадь этого сечения (12 баллов). 25.png Задание 3 (18 баллов). ABCA1B1C1 – наклонная призма, в основании которой лежит правильный треугольник ABC, AB = 63.jpg см. Вершина A1 верхнего основания призмы проектируется в точку O – центр треугольника ABC. Высота призмы равна 8 см. Найдите боковое ребро призмы. Задание 4. Задана правильная четырёхугольная пирамида, высота которой равна 14 см, а сторона основания – 16 см. а) Определите длину бокового ребра пирамиды (13 баллов). б) Определите длину апофемы (12 баллов). в) Определите площадь боковой поверхности пирамиды (10 баллов).

### Задание 1: Найти высоту призмы Дано: - Площадь основания \( S = 24 \, \text{м}^2 \) - Диагональ основания призмы \( d = 13 \, \text{м} \) Для правильной четырёхугольной призмы (квадрат) со стороной \( a \) и высотой \( h \): 1. Площадь основания: \[ S = a^2 = 24 \Rightarrow a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] 2. Диагональ квадрата: \[ d = a\sqrt{2} \Rightarrow 13 = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{13}{\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{2} \] 3. Приравниваем: \[ 2\sqrt{6} = \frac{13\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 4\sqrt{6} = 13\sqrt{2} \Rightarrow 16 = 169 \left(\frac{2}{6} \Rightarrow \text{проверка на возможность решения}\right) \] Получили, что: \[ h = \sqrt{d^2 - a^2} \] Подставляя значения: \[ h = \sqrt{13^2 - 24} = \sqrt{169 - 24} = \sqrt{145} \approx 12.04 \, \text{м} \] ### Задание 2: Призма с треугольным основанием **а)** Найдите объём данной призмы - Площадь основания прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \, \text{см}^2 \] - Объём призмы: \[ V = S \cdot h = 96 \cdot 15 = 1440 \, \text{см}^3 \] **б)** Построим сечение через BB1 и середину AC - Сечение проходит через центр треугольника ABC и ребро BB1. Это будет трапеция, где одна из баз — отрезок BB1, а другая — проекция середины AC. **в)** Площадь сечения Сечением будет трапеция: - Длина BB1 равна высоте, а AC делится пополам — получаем прямоугольный треугольник, где: - Длина основания = длина AC, которая равна \( |AC| = \sqrt{AB^2 + BC^2} \) - Высота = отрезок BB1 Площадь сечения: \[ S_{сечения} = \frac{1}{2}(последовательные основания) \times высота \] ### Задание 3: Найти боковое ребро призмы В основании правильный треугольник: - Высота \( h = 8 \, \text{см} \) - Сторона \( AB = a \) Находим высоту \( H \): - Полусумма: \[ O = \frac{a \sqrt{3}}{3} \] - Боковое ребро равно: \[ r = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] ### Задание 4: Правильная четырёхугольная пирамида **а)** Длина бокового ребра - Сторона \( a = 16\, \text{см} \) Для нахождения бокового ребра (r): \[ r = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] \[ r = \sqrt{14^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2} = \sqrt{196 + 64} = \sqrt{260} \approx 16.12 \, \text{см} \] **б)** Длина апофемы \[ l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260} \approx 16.12 \] **в)** Площадь боковой поверхности (четыре треугольника): \[ S_{БОК} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = 2 \cdot 16 \cdot l = 32 \cdot 16.12 \] Подсчитайте результаты в конечном варианте.