А Задание 1 (13 баллов). Площадь основания правильной четырёхугольной призмы равна 24 м2, а её диагональ равна 13 м. Найдите высоту призмы. Задание 2. В основании прямой призмы…

Задание 1: Найти высоту призмы

Дано:

• Площадь основания \( S = 24 \, \text{м}^2 \)
• Диагональ основания призмы \( d = 13 \, \text{м} \)

Для правильной четырёхугольной призмы (квадрат) со стороной \( a \) и высотой \( h \):

1. Площадь основания: \[ S = a^2 = 24 \Rightarrow a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

2. Диагональ квадрата: \[ d = a\sqrt{2} \Rightarrow 13 = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{13}{\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{2} \]

3. Приравниваем: \[ 2\sqrt{6} = \frac{13\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 4\sqrt{6} = 13\sqrt{2} \Rightarrow 16 = 169 \left(\frac{2}{6} \Rightarrow \text{проверка на возможность решения}\right) \]

Получили, что: \[ h = \sqrt{d^2 - a^2} \]

Подставляя значения: \[ h = \sqrt{13^2 - 24} = \sqrt{169 - 24} = \sqrt{145} \approx 12.04 \, \text{м} \]

Задание 2: Призма с треугольным основанием

а) Найдите объём данной призмы

• Площадь основания прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \, \text{см}^2 \]

• Объём призмы: \[ V = S \cdot h = 96 \cdot 15 = 1440 \, \text{см}^3 \]

б) Построим сечение через BB1 и середину AC

• Сечение проходит через центр треугольника ABC и ребро BB1. Это будет трапеция, где одна из баз — отрезок BB1, а другая — проекция середины AC.

в) Площадь сечения

Сечением будет трапеция:

• Длина BB1 равна высоте, а AC делится пополам — получаем прямоугольный треугольник, где:
  • Длина основания = длина AC, которая равна \( |AC| = \sqrt{AB^2 + BC^2} \)
  • Высота = отрезок BB1

Площадь сечения: \[ S_{сечения} = \frac{1}{2}(последовательные основания) \times высота \]

Задание 3: Найти боковое ребро призмы

В основании правильный треугольник:

• Высота \( h = 8 \, \text{см} \)
• Сторона \( AB = a \)

Находим высоту \( H \):

• Полусумма: \[ O = \frac{a \sqrt{3}}{3} \]
• Боковое ребро равно: \[ r = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Задание 4: Правильная четырёхугольная пирамида

а) Длина бокового ребра

• Сторона \( a = 16\, \text{см} \)

Для нахождения бокового ребра (r): \[ r = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

\[ r = \sqrt{14^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2} = \sqrt{196 + 64} = \sqrt{260} \approx 16.12 \, \text{см} \]

б) Длина апофемы \[ l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260} \approx 16.12 \]

в) Площадь боковой поверхности (четыре треугольника): \[ S_{БОК} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = 2 \cdot 16 \cdot l = 32 \cdot 16.12 \]

Подсчитайте результаты в конечном варианте.