Докажите, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического.
Давайте докажем, что среднее геометрическое двух положительных отрезков \(a\) и \(b\) не превосходит их среднего арифметического.
Определения:
Среднее арифметическое: для двух чисел \(a\) и \(b\) среднее арифметическое вычисляется как: \[ A = \frac{a + b}{2} \]
Среднее геометрическое: для двух чисел \(a\) и \(b\) среднее геометрическое вычисляется как: \[ G = \sqrt{ab} \]
Задача:
Нужно показать, что \(G \leq A\), то есть:
\[
\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}
\]
Доказательство:
Начнем с неравенства, которое мы хотим установить: \[ \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \]
Умножим обе стороны неравенства на \(2\) (это не изменяет его, так как \(2 > 0\)): \[ 2 \sqrt{ab} \leq a + b \]
Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат (также не изменяет его, так как обе стороны положительны): \[ (2 \sqrt{ab})^2 \leq (a + b)^2 \]
Это дает: \[ 4ab \leq a^2 + 2ab + b^2 \]
Переместим все члены в одну сторону: \[ 4ab - 2ab - a^2 - b^2 \leq 0 \]
Упрощаем неравенство: \[ 2ab - a^2 - b^2 \leq 0 \]
Перепишем его в другой форме: \[ - (a^2 - 2ab + b^2) \leq 0 \]
Здесь мы увидим, что \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \geq 0\) (квадрат любого числа не отрицателен).
Таким образом, мы можем заключить, что: \[ (a - b)^2 \geq 0 \] Что верно для всех \(a\) и \(b\).
Это означает, что наше первоначальное неравенство \( \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \) верно.
Вывод:
Мы доказали, что для любых положительных чисел \(a\) и \(b\) среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического:
\[
\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}
\]
