Рубин представляет собой кристалл корунда и имеет простейшую формулу Al2O3, в котором некоторое количество атомов алюминия замещено на атомы хрома. Определите массу оксида хрома…
Рубин представляет собой кристалл корунда и имеет простейшую формулу Al2O3, в котором некоторое количество атомов алюминия замещено на атомы хрома. Определите массу оксида хрома (III) (в мг), которую необходимо сплавить с образцом корунда массой 18 карат для получения искусственного рубина. В полученном кристалле количество атомов алюминия должно относиться к количеству атомов хрома как 97 к 3. Масса 1 карата составляет 0,2 г. В ответе укажите число с точностью до целых.
Чтобы решить данную задачу, давайте пошагово разберём все необходимые вычисления и объяснения.
Шаг 1: Определение массы исходного образца корунда
Дано, что масса образца корунда составляет 18 карат.
1 карат = 0,2 г, следовательно: \[ \text{Масса корунда (г)} = 18 \, \text{карат} \times 0,2 \, \text{г/карат} = 3,6 \, \text{г} \]
Шаг 2: Определение числа атомов алюминия в корунде
Формула корунда — Al2O3. Это означает, что на 2 атома алюминия приходится 3 атома кислорода.
Теперь находим количество атомов алюминия в 3,6 г корунда.
Молярная масса Al2O3:
- Молярная масса алюминия (Al) ≈ 27 г/моль
- Молярная масса кислорода (O) ≈ 16 г/моль
- Молярная масса Al2O3 = 2 × 27 + 3 × 16 = 54 + 48 = 102 г/моль
Количество моль корунда в 3,6 г: \[ n = \frac{\text{масса}}{\text{молярная масса}} = \frac{3,6 \, \text{г}}{102 \, \text{г/моль}} \approx 0,03529 \, \text{моль} \]
Число атомов алюминия: В одной моле Al2O3 содержится 2 моль алюминия. Таким образом: \[ \text{Количество моль Al} = 0,03529 \, \text{моль} \times 2 = 0,07058 \, \text{моль} \]
Используя число Авогадро (N_A ≈ 6,022 × 10^23 атомов/моль), получаем число атомов алюминия: \[ \text{Количество атомов Al} \approx 0,07058 \times 6,022 \times 10^{23} \approx 4,25 \times 10^{22} \, \text{атомов Al} \]
Шаг 3: Определение числа атомов хрома
Согласно условию задачи, соотношение количество атомов Al к количеству атомов Cr является 97:3. Обозначим количество атомов Cr как \( x \).
По соотношению, получаем: \[ \frac{4,25 \times 10^{22}}{x} = \frac{97}{3} \] Отсюда: \[ x = \frac{4,25 \times 10^{22} \cdot 3}{97} \approx 1,31 \times 10^{22} \, \text{атомов Cr} \]
Шаг 4: Определение массы оксида хрома (III)
В Al2O3 атом хрома занимает место атома алюминия. Молярная масса Cr = 52 г/моль. В формуле оксида хрома (III) = Cr2O3:
- Молярная масса Cr2O3: \[ \text{Молярная масса Cr2O3} = 2 \times 52 + 3 \times 16 = 104 + 48 = 152 \, \text{г/моль} \]
Теперь найдем, сколько моль Cr соответствует количеству атомов: \[ \text{Количество моль Cr} = \frac{1,31 \times 10^{22}}{6,022 \times 10^{23}} \approx 0,0218 \, \text{моль} \]
Шаг 5: Расчет массы оксида хрома
Теперь можем найти массу Cr2O3: \[ \text{Масса Cr2O3} = \text{Количество моль} \times \text{Молярная масса} = 0,0218 \, \text{моль} \times 152 \, \text{г/моль} \approx 3,31 \, \text{г} \]
Шаг 6: Приведение массы к миллиграммам
Для получения массы в миллиграммах: \[ 3,31 \, \text{г} = 3,31 \times 1000 \, \text{мг} = 3310 \, \text{мг} \]
Ответ
Таким образом, для сплавления с образцом корунда массой 18 карат необходимо около 3310 мг оксида хрома (III).
