Решить контрольную работу № 3. Функции и их свойства
Вариант 1
1. Дана функция y = - 4x + 1 При каких значениях аргумента f(x) = 0 f' * (x) < 0 f(x) >0? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните.
2. Найдите область определения функции:
1) y = sqrt(5x - 2)
2) y = 1/(2x ^ 2 -5x -3)
3. Постройте график функции y = x ^ 2 + 4x - 5 помощью графика найдите:
а) область определения и область значения;
б) нули функции;
в) промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания;
д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.
### Решение контрольной работы № 3. Функции и их свойства
#### Вариант 1
---
### Задача 1: Рассмотрим функцию \( y = -4x + 1 \)
1. **При каких значениях аргумента \( f(x) = 0 \)**
Чтобы найти, при каких значениях аргумента \( x \) функция равна нулю, решим уравнение:
\[
-4x + 1 = 0
\]
Переносим 1 через равенство:
\[
-4x = -1
\]
Разделяем обе стороны на -4:
\[
x = \frac{1}{4}
\]
Значит, \( f(x) = 0 \) при \( x = \frac{1}{4} \).
2. **Для определения \( f'(x) < 0 \)**
Находим производную функции:
\[
f'(x) = -4
\]
Производная отрицательна \( (f'(x) < 0) \) для любого \( x \). Это означает, что функция убывает на всей своей области определения.
3. **Для определения \( f(x) > 0 \)**
Чтобы понять, когда \( y > 0 \):
\[
-4x + 1 > 0
\]
Решим неравенство:
\[
-4x > -1
\]
Разделим обе стороны на -4 (при этом знак неравенства изменится):
\[
x < \frac{1}{4}
\]
Таким образом, функция положительна для всех \( x < \frac{1}{4} \).
4. **Возрастающая или убывающая функция?**
Поскольку производная функции \( -4 \) всегда отрицательна, можно с уверенностью сказать, что функция убывающая.
---
### Задача 2: Найдите область определения функции
1. **Для \( y = \sqrt{5x - 2} \)**
Область определения корня:
\[
5x - 2 \geq 0
\]
Решим это неравенство:
\[
5x \geq 2 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{2}{5}
\]
Значит, область определения: \( x \geq \frac{2}{5} \) или \( [\frac{2}{5}, +\infty) \).
2. **Для \( y = \frac{1}{2x^2 - 5x - 3} \)**
Найдем, при каких \( x \) знаменатель равен нулю:
\[
2x^2 - 5x - 3 = 0
\]
Используем дискриминант:
\[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49
\]
Находим корни:
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}
\]
Корни:
\[
x_1 = 3, \quad x_2 = -\frac{1}{2}
\]
Знаменатель равен нулю в точках \( x = 3 \) и \( x = -\frac{1}{2} \). Поэтому область определения:
\( (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 3) \cup (3, +\infty) \).
---
### Задача 3: Постройте график функции \( y = x^2 + 4x - 5 \)
1. **Область определения и область значения**
Это квадратичная функция, область определения: \( (-\infty, +\infty) \).
Чтобы найти область значений, находим вершину параболы:
Вершина:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2
\]
Подставляем \( x = -2 \) в уравнение:
\[
y = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9
\]
Парабола открыта вверх, значит, область значений \( [-9, +\infty) \).
2. **Нули функции**
Решаем уравнение:
\[
x^2 + 4x - 5 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
\]
Найдем корни:
\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}
\]
Корни:
\[
x_1 = 1, \quad x_2 = -5
\]
3. **Промежутки знакопостоянства**
Функция меняет знак в точках \( x = -5 \) и \( x = 1 \):
- \( (-\infty, -5) \): \( y > 0 \) (положительна)
- \( (-5, 1) \): \( y < 0 \) (отрицательна)
- \( (1, +\infty) \): \( y > 0 \) (положительна)
4. **Промежутки возрастания и убывания**
Находим производную:
\[
y' = 2x + 4
\]
Приравниваем к нулю:
\[
2x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]
- Убывает на \( (-\infty, -2) \)
- Возрастает на \( (-2, +\infty) \)
5. **Наименьшее и наибольшее значения функции**
Наименьшее значение функции: \( y = -9 \) при \( x = -2 \). Наибольшие значения не ограничены: \( +\infty \).
---
Таким образом, мы подробно рассмотрели все задачи контрольной работы по функциям и их свойствам. Если есть вопросы, не стесняйтесь задавать!
