Чтобы решить задачу, мы начнем с нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.
Шаг 1: Найдем гипотенузу исходного треугольника
В прямоугольном треугольнике используется теорема Пифагора, которая гласит:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где (c) — гипотенуза, (a) и (b) — катеты. В нашем случае:
Подставим значения в формулу:
[
c^2 = 5^2 + 12^2
]
[
c^2 = 25 + 144
]
[
c^2 = 169
]
Теперь извлечем корень:
[
c = \sqrt{169} = 13 \text{ см}
]
Гипотенуза исходного треугольника равна 13 см.
Шаг 2: Найдем площадь исходного треугольника
Площадь (S) прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \text{ см}^2
]
Шаг 3: Найдем коэффициент подобия
Теперь мы знаем, что площадь исходного треугольника равна 30 см², а площадь нового треугольника равна 270 см². Чтобы найти коэффициент подобия (k) между двумя треугольниками, мы используем соотношение площадей. Площадь подобного треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия:
[
\frac{S_{нового}}{S_{исходного}} = k^2
]
Подставим известные значения:
[
\frac{270}{30} = k^2
]
Это упрощается до:
[
9 = k^2
]
Теперь найдем k:
[
k = \sqrt{9} = 3
]
Шаг 4: Найдем гипотенузу подобного треугольника
Теперь, чтобы найти гипотенузу подобного треугольника, нужно умножить гипотенузу исходного треугольника на коэффициент подобия. Мы уже знаем, что гипотенуза исходного треугольника равна 13 см:
[
c_{нового} = k \cdot c_{исходного} = 3 \cdot 13 = 39 \text{ см}
]
Ответ
Гипотенуза треугольника, подобного данному, равна 39 см.
