Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12 (см), найдите гипотенузу треугольника подобного данному, если его площадь равна 270 см²

Чтобы решить задачу, мы начнем с нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

Шаг 1: Найдем гипотенузу исходного треугольника

В прямоугольном треугольнике используется теорема Пифагора, которая гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

где \(c\) — гипотенуза, \(a\) и \(b\) — катеты. В нашем случае:

• \(a = 5\) см
• \(b = 12\) см

Подставим значения в формулу:

\[ c^2 = 5^2 + 12^2 \] \[ c^2 = 25 + 144 \] \[ c^2 = 169 \]

Теперь извлечем корень:

\[ c = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]

Гипотенуза исходного треугольника равна 13 см.

Шаг 2: Найдем площадь исходного треугольника

Площадь (S) прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \text{ см}^2 \]

Шаг 3: Найдем коэффициент подобия

Теперь мы знаем, что площадь исходного треугольника равна 30 см², а площадь нового треугольника равна 270 см². Чтобы найти коэффициент подобия (k) между двумя треугольниками, мы используем соотношение площадей. Площадь подобного треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{нового}}{S_{исходного}} = k^2 \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{270}{30} = k^2 \]

Это упрощается до:

\[ 9 = k^2 \]

Теперь найдем k:

\[ k = \sqrt{9} = 3 \]

Шаг 4: Найдем гипотенузу подобного треугольника

Теперь, чтобы найти гипотенузу подобного треугольника, нужно умножить гипотенузу исходного треугольника на коэффициент подобия. Мы уже знаем, что гипотенуза исходного треугольника равна 13 см:

\[ c_{нового} = k \cdot c_{исходного} = 3 \cdot 13 = 39 \text{ см} \]

Ответ

Гипотенуза треугольника, подобного данному, равна 39 см.