х^2+2х-120<0

Чтобы решить неравенство \(x^2 + 2x - 120 < 0\), будем действовать поэтапно.

Шаг 1: Найдем корни уравнения

Для начала, найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 120 = 0\) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -120\).

Подставляя значения, получаем: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 \]

Теперь найдем корни уравнения по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения \(b\), \(D\) и \(a\): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 1} \] \[ \sqrt{484} = 22, \quad \text{поэтому} \quad x = \frac{-2 \pm 22}{2} \]

Теперь найдем два корня:

1. \(x_1 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10\)
2. \(x_2 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12\)

Таким образом, корни уравнения \(x^2 + 2x - 120 = 0\) — это \(x_1 = 10\) и \(x_2 = -12\).

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь разобьем числовую прямую на три интервала, основываясь на найденных корнях:

1. \(x < -12\)
2. \(-12 < x < 10\)
3. \(x > 10\)

Шаг 3: Проверим знак на каждом интервале

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и проверим, какое значение принимает функция \(f(x) = x^2 + 2x - 120\).

1. Для интервала \(x < -12\): Пусть \(x = -13\): \[ f(-13) = (-13)^2 + 2 \cdot (-13) - 120 = 169 - 26 - 120 = 23 > 0 \] Следовательно, на интервале \(x < -12\) функция положительна.

2. Для интервала \(-12 < x < 10\): Пусть \(x = 0\): \[ f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 120 = -120 < 0 \] Таким образом, на интервале \(-12 < x < 10\) функция отрицательна.

3. Для интервала \(x > 10\): Пусть \(x = 11\): \[ f(11) = 11^2 + 2 \cdot 11 - 120 = 121 + 22 - 120 = 23 > 0 \] Следовательно, на интервале \(x > 10\) функция также положительна.

Шаг 4: Запишем решение

Мы ищем, когда \(f(x) < 0\). Таким образом, решение неравенства \(x^2 + 2x - 120 < 0\) находится на интервале: \[ (-12, 10) \]

Ответ

Решением неравенства \(x^2 + 2x - 120 < 0\) является: \[ x \in (-12, 10) \]