Описать свойства квадратичной функции невыполняя построения y = x² + 2X - 8 При каких значениях возрастает При каких убывает При каких y равен нулю X > 0 и X < 0 и это

Давайте разберем свойства квадратичной функции \( y = x^2 + 2x - 8 \) с акцентом на понимание. Мы рассмотрим, при каких значениях функция возрастает, убывает и при каких значениях \( y \) равен нулю, а также проанализируем поведение функции для \( x > 0 \) и \( x < 0 \). ### 1. Нахождение корней функции Корни квадратичной функции находятся с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] где \( D \) — дискриминант, \( D = b^2 - 4ac \). Для нашей функции \( y = x^2 + 2x - 8 \): - \( a = 1 \) - \( b = 2 \) - \( c = -8 \) Теперь вычисляем дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Теперь найдём корни: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] ### 2. Фигура и свойства функции Квадратичная функция имеет форму параболы, которая открыта вверх (так как коэффициент \( a = 1 > 0 \)). #### 2.1. Наблюдение за поведением функции - **Корни:** Мы нашли, что \( y = 0 \) при \( x = 2 \) и \( x = -4 \). #### 2.2. Возрастание и убывание функции Чтобы понять, при каких значениях \( x \) функция возрастает или убывает, мы можем определить интервалы между корнями. - **Убывание:** Функция убывает на интервале \( (-\infty, -4) \). - **Возрастание:** Функция возрастает на интервале \( (-4, \infty) \). Чтобы лучше понять, давайте вспомним о вершине параболы. Вершина квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \) по оси \( x \) находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Для нашей функции: \[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \] Это значение \( x_v = -1 \) находится между корнями \( -4 \) и \( 2 \). Это означает, что: - На интервале \( (-\infty, -4) \) функция убывает (до вершины). - На интервале \( (-4, 2) \) функция возрастает (после вершины и до второго корня). - После точки \( x = 2 \) функция снова продолжает расти. ### 3. Подведение итогов - **При каких значениях \( y = 0 \)?** - \( x = -4 \) и \( x = 2 \). - **При каких значениях функция возрастает?** - Функция возрастает на интервале \( (-4, \infty) \). - **При каких значениях функция убывает?** - Функция убывает на интервале \( (-\infty, -4) \). #### 3.1. Анализ для \( x > 0 \) и \( x < 0 \) - **Для \( x > 0 \)** (то есть \( x \in (0, 2) \) и \( x \in (2, \infty) \)): - Функция возрастает на \( (2, \infty) \) и убывает на \( (0, 2) \). - **Для \( x < 0 \)** (то есть \( x \in (-\infty, 0) \)): - Функция убывает на \( (-\infty, -4) \) и возрастает на \( (-4, 0) \). Таким образом, мы провели полный анализ функции, определив её корни, интервалы возрастания и убывания. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!