Рубин представляет собой кристалл корунда и имеет простейшую формулу Al2O3, в котором некоторое количество атомов алюминия замещено на атомы хрома. Определите массу оксида хрома (III) (в мг), которую необходимо сплавить с образцом корунда массой 18 карат для получения искусственного рубина. В полученном кристалле количество атомов алюминия должно относиться к количеству атомов хрома как 97 к 3. Масса 1 карата составляет 0,2 г. В ответе укажите число с точностью до целых.
Для решения задачи определим, сколько массы оксида хрома (III), или Cr2O3, необходимо сплавить с образцом корунда (Al2O3) массой 18 карат, чтобы получить искусственный рубин, который содержит определенное соотношение алюминия и хрома.
### Шаг 1: Определение массы корунда
1. **Масса корунда**:
\[
18 \text{ карат} = 18 \times 0,2 \text{ г} = 3,6 \text{ г}
\]
### Шаг 2: Определение молей алюминия в корунде
2. **Определение молей Al и соотношения**:
Корунд Al2O3 содержит алюминий (Al) в соотношении 97:3 с хромом (Cr). Это значит, что на каждые 100 атомов, 97 из них будут атомами Al, а 3 – атомами Cr.
### Шаг 3: Определение массы атомов алюминия в корунде
3. **Количество моль в корунде**:
Масса 1 моль Al2O3:
\[
M(Al2O3) = 2 \times M(Al) + 3 \times M(O) = 2 \times 27 + 3 \times 16 = 54 + 48 = 102 \text{ г/моль}
\]
Количество моль в 3,6 г Al2O3:
\[
n(Al2O3) = \frac{m}{M} = \frac{3,6 \text{ г}}{102 \text{ г/моль}} \approx 0,03529 \text{ моль}
\]
4. **Количество моль алюминия в 3,6 г корунда**:
В 1 моль Al2O3 содержится 2 моль Al, следовательно, моль Al в корунде:
\[
n(Al) = 2 \times n(Al2O3) = 2 \times 0,03529 \text{ моль} \approx 0,07058 \text{ моль}
\]
### Шаг 4: Определение необходимого количества атомов хрома
5. **Определение моль хрома**:
Соотношение Al к Cr равно 97:3. Таким образом:
\[
n(Cr) = \frac{3}{97} \times n(Al) \approx \frac{3}{97} \times 0,07058 \approx 0,00218 \text{ моль}
\]
### Шаг 5: Определение массы Cr2O3
6. **Масса и количество моль Cr2O3**:
В 1 моль Cr2O3 содержится 2 моль Cr.
Следовательно, моль Cr2O3, который нам нужен:
\[
n(Cr2O3) = \frac{1}{2} n(Cr) \approx \frac{1}{2} \times 0,00218 \approx 0,00109 \text{ моль}
\]
7. **Молярная масса Cr2O3**:
\[
M(Cr2O3) = 2 \times M(Cr) + 3 \times M(O) = 2 \times 52 + 3 \times 16 = 104 + 48 = 152 \text{ г/моль}
\]
### Шаг 6: Масса оксида хрома
8. **Масса необходимого Cr2O3**:
\[
m(Cr2O3) = n(Cr2O3) \times M(Cr2O3) \approx 0,00109 \text{ моль} \times 152 \text{ г/моль} \approx 0,16568 \text{ г}
\]
### Шаг 7: Перевод в миллиграммы
9. **Перевод в миллиграммы**:
\[
0,16568 \text{ г} = 165,68 \text{ мг} \approx 166 \text{ мг}
\]
### Ответ
Для получения искусственного рубина необходимо сплавить **166 мг** оксида хрома (III) с образцом корунда массой 18 карат.
