x³-2x²-9x+18 3ab-15a+12b-60 x³-3x²-4x+12

Для понимания данной задачи, необходимо рассмотреть три многочлена, которые вы привели. Мы будем рассматривать каждый из них по отдельности, разложив на множители, если это возможно.

1. Многочлен: \( x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \)

Шаг 1: Поиск корней

Чтобы начать, сначала попробуем найти корни этого многочлена. Используем метод подбора, чтобы найти возможные рациональные корни. По теореме о рациональных корнях, возможные корни могут быть от ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18.

Протестируем, например, \( x = 3 \): \[ 3^3 - 2(3^2) - 9(3) + 18 = 27 - 18 - 27 + 18 = 0. \] Это означает, что \( x = 3 \) — корень.

Шаг 2: Деление многочлена

Теперь мы можем разделить многочлен \( x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \) на \( x - 3 \) с помощью деления многочленов:

Делим: \[ \begin{array}{rl} & x^2 + 1 \\ x - 3 & x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \\ & -(x^3 - 3x^2) \\ \hline & x^2 - 9x + 18 \\ & - (x^2 - 3x) \\ \hline & - 6x + 18 \\ & - (-6x + 18) \\ \hline & 0. \\ \end{array} \] Остаток равен 0, получаем: \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x - 3)(x^2 + 1). \]

Шаг 3: Запись результата

Итак, многочлен можно записать как: \[ (x - 3)(x^2 + 1). \]

2. Многочлен: \( 3ab - 15a + 12b - 60 \)

Шаг 1: Группировка

Давайте сгруппируем термины: \[ (3ab - 15a) + (12b - 60). \]

Шаг 2: Вынесение общего множителя

Теперь вынесем общий множитель в каждой группе: \[ 3a(b - 5) + 12(b - 5). \]

Шаг 3: Вынесение общего множителя

Теперь можно выделить общий множитель: \[ (b - 5)(3a + 12). \]

3. Многочлен: \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \)

Шаг 1: Поиск корней

Снова попробуем найти корни. Проверим, например, \( x = 2 \): \[ 2^3 - 3(2^2) - 4(2) + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0. \] Это значит, что \( x = 2 \) — корень.

Шаг 2: Деление многочлена

Теперь разделим \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \) на \( x - 2 \): \[ \begin{array}{rl} & x^2 - x - 2 \\ x - 2 & x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \\ & -(x^3 - 2x^2) \\ \hline & -x^2 - 4x + 12 \\ & - (-x^2 + 2x) \\ \hline & -6x + 12 \\ & - (-6x + 12) \\ \hline & 0. \\ \end{array} \] Остаток равен 0, поэтому: \[ x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 2)(x^2 - x - 6). \]

Шаг 3: Разложение второго множителя

Теперь можем разложить второй множитель: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2). \]

Шаг 4: Запись результата

Итак, окончательный результат: \[ x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 2)(x - 3)(x + 2). \]

Итак, результаты:

1. \( x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x - 3)(x^2 + 1) \).
2. \( 3ab - 15a + 12b - 60 = (b - 5)(3a + 12) \).
3. \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 2)(x - 3)(x + 2) \).

Если у вас есть дополнительные вопросы по каждому шагу или нужно уточнить какие-то моменты, не стесняйтесь спрашивать!