Сколько существует способов распределить между 10 сотрудниками 5 премий

Чтобы решить задачу о том, сколько существует способов распределить 5 премий между 10 сотрудниками, мы представим, что каждая премия - это одинаковая награда, и сотрудник может получить от 0 до 5 премий. Это классическая задача о распределении indistinguishable объектов (премий) в distinguishable ячейки (сотрудники), которая решается с помощью формулы сочетаний с повторениями. ### Шаги решения: 1. **Определение задачи:** Мы хотим распределить 5 одинаковых премий между 10 различными сотрудниками. Каждый сотрудник может получить любую неотрицательную целочисленную долю премий. 2. **Применение формулы для распределения:** Для решения данной задачи можно использовать формулу для сочетаний с повторениями, которая гласит: \[ C(n + k - 1, k - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{k! \cdot (n - 1)!} \] Здесь: - \( n \) — количество «ячейок» (сотрудников), - \( k \) — количество «объектов» (премий). В нашем случае: \( n = 10 \) (сотрудников), \( k = 5 \) (премий). 3. **Подставляем значения в формулу:** Мы ищем количество способов распределить 5 премий между 10 сотрудниками, что можно записать как: \[ C(10 + 5 - 1, 5) = C(14, 5) \] 4. **Вычисление сочетания:** Рассчитаем \( C(14, 5) \): \[ C(14, 5) = \frac{14!}{5! \cdot (14 - 5)!} = \frac{14!}{5! \cdot 9!} \] Это можно упростить: \[ C(14, 5) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] 5. **Выполнение вычислений:** - В числителе: - \( 14 \times 13 = 182 \) - \( 182 \times 12 = 2184 \) - \( 2184 \times 11 = 24024 \) - \( 24024 \times 10 = 240240 \) - В знаменателе: - \( 5! = 120 \) 6. **Результат:** Теперь вычислим: \[ C(14, 5) = \frac{240240}{120} = 2002 \] ### Ответ: Итак, существует **2002** способа распределить 5 премий между 10 сотрудниками.