Сколько существует способов распределить между 10 сотрудниками 5 премий

Чтобы решить задачу о том, сколько существует способов распределить 5 премий между 10 сотрудниками, мы представим, что каждая премия - это одинаковая награда, и сотрудник может получить от 0 до 5 премий.

Это классическая задача о распределении indistinguishable объектов (премий) в distinguishable ячейки (сотрудники), которая решается с помощью формулы сочетаний с повторениями.

Шаги решения:

1. Определение задачи:
   Мы хотим распределить 5 одинаковых премий между 10 различными сотрудниками. Каждый сотрудник может получить любую неотрицательную целочисленную долю премий.

2. Применение формулы для распределения:
   Для решения данной задачи можно использовать формулу для сочетаний с повторениями, которая гласит: \[ C(n + k - 1, k - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{k! \cdot (n - 1)!} \] Здесь:

   • \( n \) — количество «ячейок» (сотрудников),
   • \( k \) — количество «объектов» (премий).

   В нашем случае:
   \( n = 10 \) (сотрудников),
   \( k = 5 \) (премий).

3. Подставляем значения в формулу:
   Мы ищем количество способов распределить 5 премий между 10 сотрудниками, что можно записать как: \[ C(10 + 5 - 1, 5) = C(14, 5) \]

4. Вычисление сочетания:
   Рассчитаем \( C(14, 5) \): \[ C(14, 5) = \frac{14!}{5! \cdot (14 - 5)!} = \frac{14!}{5! \cdot 9!} \] Это можно упростить: \[ C(14, 5) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

5. Выполнение вычислений:

   • В числителе:

     • \( 14 \times 13 = 182 \)
     • \( 182 \times 12 = 2184 \)
     • \( 2184 \times 11 = 24024 \)
     • \( 24024 \times 10 = 240240 \)

   • В знаменателе:

     • \( 5! = 120 \)

6. Результат:
   Теперь вычислим: \[ C(14, 5) = \frac{240240}{120} = 2002 \]

Ответ:

Итак, существует 2002 способа распределить 5 премий между 10 сотрудниками.