Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Давайте решим вашу задачу шаг за шагом. #### Шаг 1: Определение функции Как сказано в задаче, налоговые поступления от продаж сапогов-скороходов являются квадратичной функцией от ставки налога. Мы можем обозначить ставку налога на продажу как \( x \) (в процентах), а поступления в бюджет — как \( f(x) \) в миллиардах фантиков. Имеем следующие данные: 1. \( f(10) = 1.3 \) 2. \( f(33) = 1.3 \) 3. \( f(27) = 1.6 \) Мы можем считать, что функция \( f(x) \) имеет следующий вид: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] #### Шаг 2: Составление системы уравнений Используя известные значения, подставим их в данную формулу для получения системы уравнений: 1. Для \( x = 10 \): \[ 100a + 10b + c = 1.3 \] 2. Для \( x = 27 \): \[ 729a + 27b + c = 1.6 \] 3. Для \( x = 33 \): \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \] Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными \( a \), \( b \) и \( c \). #### Шаг 3: Решение системы уравнений Отнимем первое уравнение от второго, а затем второе уравнение от третьего, чтобы избавиться от \( c \). 1. От \( (2) - (1) \): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(Уравнение 4)} \] 2. От \( (3) - (2) \): \[ (1089a + 33b + c) - (729a + 27b + c) = 1.3 - 1.6 \] \[ 360a + 6b = -0.3 \quad \text{(Уравнение 5)} \] #### Шаг 4: Упростим уравнения Теперь мы можем упростить системы: - Разделим (5) на 6: \[ 60a + b = -0.05 \quad \text{(Уравнение 6)} \] Теперь из уравнения (4) выражаем \( b \): \[ b = -\frac{0.3 - 629a}{17} \] Подставим (6) в (4): \[ 629a + 17(-0.05 - 60a) = 0.3 \] \[ 629a - 0.85 - 1020a = 0.3 \] \[ -391a = 1.15 \] \[ a = -\frac{1.15}{391} \approx -0.00294 \] Зная \( a \), можно найти \( b \) и \( c \): Подставляем найденное значение \( a \) в (6): \[ 60 \cdot -0.00294 + b = -0.05 \implies b \approx -0.05 + 0.176 = 0.126 \] Сейчас подставим \( a \) и \( b \) в (1): \[ 100(-0.00294) + 10(0.126) + c = 1.3 \] \[ -0.294 + 1.26 + c = 1.3 \implies c = 1.3 - 0.966 = 0.334 \] Теперь имеем полную функцию: \[ f(x) = -0.00294x^2 + 0.126x + 0.334 \] #### Шаг 5: Поиск максимума Поиск максимума квадратичной функции \( f(x) = ax^2 + bx + c \) осуществляется при \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x = -\frac{0.126}{2 \cdot -0.00294} \approx 21.4 \] #### Ответ Ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет **21.4%**.