Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Определение функции
Как сказано в задаче, налоговые поступления от продаж сапогов-скороходов являются квадратичной функцией от ставки налога. Мы можем обозначить ставку налога на продажу как \( x \) (в процентах), а поступления в бюджет — как \( f(x) \) в миллиардах фантиков. Имеем следующие данные:
- \( f(10) = 1.3 \)
- \( f(33) = 1.3 \)
- \( f(27) = 1.6 \)
Мы можем считать, что функция \( f(x) \) имеет следующий вид:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
Шаг 2: Составление системы уравнений
Используя известные значения, подставим их в данную формулу для получения системы уравнений:
Для \( x = 10 \): \[ 100a + 10b + c = 1.3 \]
Для \( x = 27 \): \[ 729a + 27b + c = 1.6 \]
Для \( x = 33 \): \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \]
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными \( a \), \( b \) и \( c \).
Шаг 3: Решение системы уравнений
Отнимем первое уравнение от второго, а затем второе уравнение от третьего, чтобы избавиться от \( c \).
От \( (2) - (1) \): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(Уравнение 4)} \]
От \( (3) - (2) \): \[ (1089a + 33b + c) - (729a + 27b + c) = 1.3 - 1.6 \] \[ 360a + 6b = -0.3 \quad \text{(Уравнение 5)} \]
Шаг 4: Упростим уравнения
Теперь мы можем упростить системы:
- Разделим (5) на 6: \[ 60a + b = -0.05 \quad \text{(Уравнение 6)} \]
Теперь из уравнения (4) выражаем \( b \): \[ b = -\frac{0.3 - 629a}{17} \]
Подставим (6) в (4): \[ 629a + 17(-0.05 - 60a) = 0.3 \] \[ 629a - 0.85 - 1020a = 0.3 \] \[ -391a = 1.15 \] \[ a = -\frac{1.15}{391} \approx -0.00294 \]
Зная \( a \), можно найти \( b \) и \( c \):
Подставляем найденное значение \( a \) в (6): \[ 60 \cdot -0.00294 + b = -0.05 \implies b \approx -0.05 + 0.176 = 0.126 \]
Сейчас подставим \( a \) и \( b \) в (1): \[ 100(-0.00294) + 10(0.126) + c = 1.3 \] \[ -0.294 + 1.26 + c = 1.3 \implies c = 1.3 - 0.966 = 0.334 \]
Теперь имеем полную функцию: \[ f(x) = -0.00294x^2 + 0.126x + 0.334 \]
Шаг 5: Поиск максимума
Поиск максимума квадратичной функции \( f(x) = ax^2 + bx + c \) осуществляется при \( x = -\frac{b}{2a} \):
\[ x = -\frac{0.126}{2 \cdot -0.00294} \approx 21.4 \]
Ответ
Ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет 21.4%.
