Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Для решения задачи будем использовать свойства квадратичной функции. Поступления в бюджет примеряют как функцию от ставки налога - и эта функция имеет форму: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \( P \) - поступления в бюджет, \( x \) - ставка налога в процентах, а \( a, b, c \) - коэффициенты, которые нам предстоит определить. У нас есть три точки, где мы знаем значение \( P \) для разных ставок \( x \): 1. \( P(10) = 1.3 \) млрд (при \( x = 10\% \)) 2. \( P(33) = 1.3 \) млрд (при \( x = 33\% \)) 3. \( P(27) = 1.6 \) млрд (при \( x = 27\% \)) ### Шаг 1: Составление системы уравнений Мы можем подставить каждую из этих точек в уравнение квадратичной функции, получая систему из трех уравнений: 1. \( a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \) \[ 100a + 10b + c = 1.3 \] 2. \( a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \) \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \] 3. \( a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \) \[ 729a + 27b + c = 1.6 \] ### Шаг 2: Упрощение системы уравнений Теперь у нас есть три уравнения: 1. \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1) 2. \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2) 3. \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3) Мы можем вычесть (1) из (2) и (3), чтобы избавиться от \( c \): - **Вычитаем (1) из (2)**: \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] Получим: \[ 989a + 23b = 0 \quad (4) \] - **Вычитаем (1) из (3)**: \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] Получим: \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \] ### Шаг 3: Решение системы с двумя переменными Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5): 1. \( 989a + 23b = 0 \) 2. \( 629a + 17b = 0.3 \) Решая (4) относительно \( b \): \[ b = -\frac{989a}{23} \] Подставляем это в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3 \] Умножив уравнение на 23, получаем: \[ 14467a - 16803a = 6.9 \] Сложив коэффициенты: \[ -2348a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2348} \approx -0.00294 \] Теперь, подставляя значение \( a \) в (4): \[ 989\left(-0.00294\right) + 23b = 0 \] Чтобы найти \( b \), вычислим: \[ b \approx 0.132 \quad \text{(после подстановки числовых значений)} \] ### Шаг 4: Нахождение \( c \) Теперь подставим \( a \) и \( b \) в одно из уравнений, чтобы найти \( c \). Используем (1): \[ 100(-0.00294) + 10(0.132) + c = 1.3 \] Решаем это уравнение, чтобы найти \( c \). ### Шаг 5: Нахождение максимума функции Квадратичная функция достигает максимума в вершине, которая находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Подставляем найденные значения \( a \) и \( b \) и находим, какой процент налоговой ставки дает максимальные поступления. ### Ответ Решив уравнение, мы находим, что максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов составляет **27%**.