Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи будем использовать свойства квадратичной функции. Поступления в бюджет примеряют как функцию от ставки налога - и эта функция имеет форму:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( P \) - поступления в бюджет, \( x \) - ставка налога в процентах, а \( a, b, c \) - коэффициенты, которые нам предстоит определить.
У нас есть три точки, где мы знаем значение \( P \) для разных ставок \( x \):
- \( P(10) = 1.3 \) млрд (при \( x = 10\% \))
- \( P(33) = 1.3 \) млрд (при \( x = 33\% \))
- \( P(27) = 1.6 \) млрд (при \( x = 27\% \))
Шаг 1: Составление системы уравнений
Мы можем подставить каждую из этих точек в уравнение квадратичной функции, получая систему из трех уравнений:
\( a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \) \[ 100a + 10b + c = 1.3 \]
\( a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \) \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \]
\( a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \) \[ 729a + 27b + c = 1.6 \]
Шаг 2: Упрощение системы уравнений
Теперь у нас есть три уравнения:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Мы можем вычесть (1) из (2) и (3), чтобы избавиться от \( c \):
- Вычитаем (1) из (2):
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \]
Получим:
\[ 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
- Вычитаем (1) из (3):
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \]
Получим:
\[ 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Шаг 3: Решение системы с двумя переменными
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Решая (4) относительно \( b \):
\[ b = -\frac{989a}{23} \]
Подставляем это в (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0.3 \]
Умножив уравнение на 23, получаем:
\[ 14467a - 16803a = 6.9 \]
Сложив коэффициенты:
\[ -2348a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2348} \approx -0.00294 \]
Теперь, подставляя значение \( a \) в (4):
\[ 989\left(-0.00294\right) + 23b = 0 \]
Чтобы найти \( b \), вычислим:
\[ b \approx 0.132 \quad \text{(после подстановки числовых значений)} \]
Шаг 4: Нахождение \( c \)
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в одно из уравнений, чтобы найти \( c \). Используем (1):
\[ 100(-0.00294) + 10(0.132) + c = 1.3 \]
Решаем это уравнение, чтобы найти \( c \).
Шаг 5: Нахождение максимума функции
Квадратичная функция достигает максимума в вершине, которая находится по формуле:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем найденные значения \( a \) и \( b \) и находим, какой процент налоговой ставки дает максимальные поступления.
Ответ
Решив уравнение, мы находим, что максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов составляет 27%.
