Высота прямого кругового цилиндра равна 8 и образует с диагональю осевого сечения угол в 60°. Найдите объём цилиндра. В ответе укажите объём, делённый на п.

Для нахождения объёма прямого кругового цилиндра, нам понадобится знать радиус основания цилиндра и высоту. Высота у нас уже известна — \( h = 8 \). Теперь давайте разберёмся с углом и диагональю осевого сечения. 1. **Ось сечения цилиндра**: Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, ширина которого равна диаметру основания цилиндра (\( 2r \)), а высота — это высота цилиндра (\( h = 8 \)). 2. **Диагональ осевого сечения**: Поскольку сечение образует прямоугольник, мы можем найти длину его диагонали \( d \) по теореме Пифагора: \[ d = \sqrt{(2r)^2 + h^2} = \sqrt{(2r)^2 + 8^2} \] 3. **Угол**: Мы знаем, что угол между диагональю осевого сечения и высотой цилиндра равен 60°. Используя определение косинуса угла, мы можем выразить радиус \( r \): \[ \cos(60^\circ) = \frac{h}{d} \] Подставляем значение: \[ \frac{1}{2} = \frac{8}{\sqrt{(2r)^2 + 8^2}} \] 4. **Решаем уравнение**: Перемножим: \[ \sqrt{(2r)^2 + 8^2} = 16 \] Возведём в квадрат обе стороны: \[ (2r)^2 + 64 = 256 \] \[ (2r)^2 = 256 - 64 = 192 \] \[ 2r = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \] \[ r = 4\sqrt{3} \] 5. **Объём цилиндра**: Объём \( V \) цилиндра рассчитывается по формуле: \[ V = \pi r^2 h \] Подставим значения: \[ V = \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 8 = \pi \cdot 48 \cdot 8 = 384\pi \] 6. **Ответ**: В соответствии с условием задачи, нужно указать объём, делённый на \( \pi \): \[ \frac{384\pi}{\pi} = 384 \] Таким образом, объём цилиндра, делённый на \( \pi \), равен \( \boxed{384} \).