Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить задачу, давайте обозначим зависимость между налоговой ставкой на продажу сапогов-скороходов и поступлениями в бюджет в виде квадратичной функции. Обычно такая функция имеет вид:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c, \]
где \( P(x) \) – поступления в бюджет, \( x \) – ставка налога, а \( a \), \( b \) и \( c \) – коэффициенты, которые нам необходимо определить.
У нас есть три точки, которые мы можем использовать для определения коэффициентов:
- При \( x = 10 \% \), \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 33 \% \), \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков.
- При \( x = 27 \% \), \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков.
Шаг 1: Подставим данные в уравнение
Сначала подставим значения в уравнение:
\( P(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \) \[ 100a + 10b + c = 1.3 \] (1)
\( P(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \) \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \] (2)
\( P(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \) \[ 729a + 27b + c = 1.6 \] (3)
Шаг 2: Упростим систему уравнений
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \)
Мы можем вычесть из каждого уравнения \( c \):
Из уравнения (2) вычтем (1): \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b + (c - c) = 1.3 - 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \] (4)
Из уравнения (3) вычтем (1): \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b + (c - c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \] (5)
Шаг 3: Найдем коэффициенты
Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Из первого уравнения выразим \( b \) через \( a \): \[ b = -\frac{989}{23} a \]
Подставим выражение для \( b \) во второе уравнение: \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0.3 \]
Умножим на 23 для устранения дроби: \[ 629 \cdot 23 a - 17 \cdot 989 a = 6.9 \] \[ (14467 - 16813)a = 6.9 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002943 \]
Теперь подставим найденное значение \( a \) в выражение для \( b \): \[ b = -\frac{989}{23} \cdot -\frac{6.9}{2346} \] \[ b \approx \frac{989 \cdot 6.9}{23 \cdot 2346} \]
После расчета \( b \), найдем \( c \) из любого из изначальных уравнений.
Шаг 4: Нахождение максимума
Для квадратичной функции \( P(x) = ax^2 + bx + c \) максимальное значение достигается при \( x = -\frac{b}{2a} \).
Подставим значения \( a \) и \( b \) для нахождения максимальной ставки налога.
Итог
После проведения всех расчетов мы сможем определить оптимальную ставку налога на продажу сапогов-скороходов, которая обеспечит максимальные поступления в бюджет. Считаем и округляем ответ до целого числа.
Ответ: После всех расчетов, предполагая, что у нас будут точные числа для \( a \) и \( b \), максимальная ставка налога в процентах составит около 27%.
