1. Даны действительные числа а, b, c. Найдите минимальное значение выражения (10 + a - b)^2 + (2 + b - c)^2 + (3 + c - a)^2.
Для того чтобы найти минимальное значение выражения
\[ (10 + a - b)^2 + (2 + b - c)^2 + (3 + c - a)^2, \]
мы можем применить метод, известный как метод Лагранжа или анализ точки минимума с использованием частных производных. Однако в данном случае проще рассмотреть это выражение как сумму квадратов.
Шаг 1: Обозначим части выражения
Давайте обозначим каждую из частей:
- \( x_1 = 10 + a - b \)
- \( x_2 = 2 + b - c \)
- \( x_3 = 3 + c - a \)
Таким образом, исходное выражение можно записать как:
\[ f(a, b, c) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2. \]
Шаг 2: Найдем минимальные значения
Согласно свойству квадратов, минимальное значение любой суммы квадратов достигается, когда каждое из слагаемых равно нулю. То есть, требуется решить систему уравнений:
- \( x_1 = 0 \)
- \( x_2 = 0 \)
- \( x_3 = 0 \)
Подставим наши обозначения:
- \( 10 + a - b = 0 \) → \( a - b = -10 \) → \( a = b - 10 \)
- \( 2 + b - c = 0 \) → \( b - c = -2 \) → \( b = c - 2 \)
- \( 3 + c - a = 0 \) → \( c - a = -3 \) → \( c = a - 3 \)
Шаг 3: Подставим значения одно в другое
Теперь подставим выражение для \( a \) из первого уравнения во второе и третье:
- Из первого уравнения имеем \( a = b - 10 \).
- Подставим во второе: \( b = c - 2 \) → \( a = (c - 2) - 10 = c - 12 \).
- Теперь подставим в третье уравнение: \( c = a - 3 \) → \( c = (c - 12) - 3 \) → \( 12 - 3 = 0 \).
Таким образом, получается
\[ c = 15 \quad (c = a - 3 \rightarrow c = b - 10 - 3 = b - 13). \] Следовательно, можем выразить \( b \) и затем \( a \):
\[ b = c - 2 = 15 - 2 = 13, \]
\[ a = b - 10 = 13 - 10 = 3. \]
Шаг 4: Проверим минимальное значение
Теперь подставим найденные значения \( a, b, c \) в исходное выражение:
\[ (10 + 3 - 13)^2 + (2 + 13 - 15)^2 + (3 + 15 - 3)^2 = (-3)^2 + 0^2 + 15^2 = 9 + 0 + 225 = 234. \]
Шаг 5: Минимальное значение
Таким образом, минимальное значение выражения \( (10 + a - b)^2 + (2 + b - c)^2 + (3 + c - a)^2 \) достигается при \( (a, b, c) = (3, 13, 15) \) и равно:
\[ \boxed{234}. \]
