Для того чтобы найти минимальное значение выражения
[
(10 + a - b)^2 + (2 + b - c)^2 + (3 + c - a)^2,
]
мы можем применить метод, известный как метод Лагранжа или анализ точки минимума с использованием частных производных. Однако в данном случае проще рассмотреть это выражение как сумму квадратов.
Шаг 1: Обозначим части выражения
Давайте обозначим каждую из частей:
- ( x_1 = 10 + a - b )
- ( x_2 = 2 + b - c )
- ( x_3 = 3 + c - a )
Таким образом, исходное выражение можно записать как:
[
f(a, b, c) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.
]
Шаг 2: Найдем минимальные значения
Согласно свойству квадратов, минимальное значение любой суммы квадратов достигается, когда каждое из слагаемых равно нулю. То есть, требуется решить систему уравнений:
- ( x_1 = 0 )
- ( x_2 = 0 )
- ( x_3 = 0 )
Подставим наши обозначения:
- ( 10 + a - b = 0 ) → ( a - b = -10 ) → ( a = b - 10 )
- ( 2 + b - c = 0 ) → ( b - c = -2 ) → ( b = c - 2 )
- ( 3 + c - a = 0 ) → ( c - a = -3 ) → ( c = a - 3 )
Шаг 3: Подставим значения одно в другое
Теперь подставим выражение для ( a ) из первого уравнения во второе и третье:
- Из первого уравнения имеем ( a = b - 10 ).
- Подставим во второе: ( b = c - 2 ) → ( a = (c - 2) - 10 = c - 12 ).
- Теперь подставим в третье уравнение: ( c = a - 3 ) → ( c = (c - 12) - 3 ) → ( 12 - 3 = 0 ).
Таким образом, получается
[
c = 15 \quad (c = a - 3 \rightarrow c = b - 10 - 3 = b - 13).
]
Следовательно, можем выразить ( b ) и затем ( a ):
[
b = c - 2 = 15 - 2 = 13,
]
[
a = b - 10 = 13 - 10 = 3.
]
Шаг 4: Проверим минимальное значение
Теперь подставим найденные значения ( a, b, c ) в исходное выражение:
[
(10 + 3 - 13)^2 + (2 + 13 - 15)^2 + (3 + 15 - 3)^2 =
(-3)^2 + 0^2 + 15^2 =
9 + 0 + 225 = 234.
]
Шаг 5: Минимальное значение
Таким образом, минимальное значение выражения ( (10 + a - b)^2 + (2 + b - c)^2 + (3 + c - a)^2 ) достигается при ( (a, b, c) = (3, 13, 15) ) и равно:
[
\boxed{234}.
]
