в прямоугольном треугольнике abc с прямым углом c гипотенуза ab равна 64см а ac:bc=3:4 найди меньший катет треугольника

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом в \( C \) и гипотенузой \( AB = 64 \) см, где длины катетов \( AC \) и \( BC \) находятся в отношении \( 3:4 \), мы сделаем следующее:

Шаг 1: Обозначим катеты

Обозначим длину катета \( AC \) как \( 3x \) и длину катета \( BC \) как \( 4x \), где \( x \) — некое положительное числовое значение.

Шаг 2: Применим теорему Пифагора

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо следующее равенство:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим наши обозначения в уравнение:

\[ 64^2 = (3x)^2 + (4x)^2 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Теперь вычислим квадрат гипотенузы и катетов:

\[ 64^2 = 4096 \] \[ (3x)^2 = 9x^2 \] \[ (4x)^2 = 16x^2 \]

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ 4096 = 9x^2 + 16x^2 \]

Сложим аналогичные члены:

\[ 4096 = 25x^2 \]

Шаг 4: Найдем значение \( x \)

Теперь решим уравнение относительно \( x^2 \):

\[ x^2 = \frac{4096}{25} \]

Вычислим это:

\[ x^2 = 163.84 \]

Теперь найдём \( x \):

\[ x = \sqrt{163.84} = 12.8 \]

Шаг 5: Вычислим длины катетов

Теперь можем найти длины катетов \( AC \) и \( BC \):

\[ AC = 3x = 3 \times 12.8 = 38.4 \text{ см} \] \[ BC = 4x = 4 \times 12.8 = 51.2 \text{ см} \]

Шаг 6: Найдем меньший катет

Меньший катет — это \( AC \):

\[ AC = 38.4 \text{ см} \]

Ответ

Меньший катет треугольника \( ABC \) равен \( 38.4 \) см.