Для решения задачи о прямоугольном треугольнике ( ABC ) с прямым углом в ( C ) и гипотенузой ( AB = 64 ) см, где длины катетов ( AC ) и ( BC ) находятся в отношении ( 3:4 ), мы сделаем следующее:
Шаг 1: Обозначим катеты
Обозначим длину катета ( AC ) как ( 3x ) и длину катета ( BC ) как ( 4x ), где ( x ) — некое положительное числовое значение.
Шаг 2: Применим теорему Пифагора
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо следующее равенство:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим наши обозначения в уравнение:
[
64^2 = (3x)^2 + (4x)^2
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Теперь вычислим квадрат гипотенузы и катетов:
[
64^2 = 4096
]
[
(3x)^2 = 9x^2
]
[
(4x)^2 = 16x^2
]
Теперь подставим эти значения в уравнение:
[
4096 = 9x^2 + 16x^2
]
Сложим аналогичные члены:
[
4096 = 25x^2
]
Шаг 4: Найдем значение ( x )
Теперь решим уравнение относительно ( x^2 ):
[
x^2 = \frac{4096}{25}
]
Вычислим это:
[
x^2 = 163.84
]
Теперь найдём ( x ):
[
x = \sqrt{163.84} = 12.8
]
Шаг 5: Вычислим длины катетов
Теперь можем найти длины катетов ( AC ) и ( BC ):
[
AC = 3x = 3 \times 12.8 = 38.4 \text{ см}
]
[
BC = 4x = 4 \times 12.8 = 51.2 \text{ см}
]
Шаг 6: Найдем меньший катет
Меньший катет — это ( AC ):
[
AC = 38.4 \text{ см}
]
Ответ
Меньший катет треугольника ( ABC ) равен ( 38.4 ) см.
