Найти площадь фигуры,осью абсцисс
Для решения задачи нужно найти площади фигур, ограниченных кривыми и осью абсцисс (осью X). Разберем каждую задачу по порядку:
- \( S_{O_{x?}}\, у = 4 - x^3 \)
Чтобы найти площадь, ограниченную кривой \( y = 4 - x^3 \) и осью X, нам нужно найти точки пересечения функции с осью X, то есть найти \( x \), при которых \( y = 0 \).
\[ 4 - x^3 = 0 \] \[ x^3 = 4 \] \[ x = \sqrt[3]{4} \]
Теперь вычислим определённый интеграл от 0 до \( \sqrt[3]{4} \) для функции \( y = 4 - x^3 \):
\[ S = \int_{0}^{\sqrt[3]{4}} (4 - x^3) \, dx \]
Вычислим интеграл:
\[ S = \left[ 4x - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt[3]{4}} \]
Подставляем пределы интегрирования:
\[ S = \left( 4\sqrt[3]{4} - \frac{(\sqrt[3]{4})^4}{4} \right) - (4 \cdot 0 - \frac{0^4}{4}) \]
\[ S = 4\sqrt[3]{4} - \frac{4^{4/3}}{4} \]
В результате, площадь можно выразить численно, подставив значения.
- \( S_{O_{x?}}\, у = 1 - x^2 \)
Ищем точки пересечения с осью X:
\[ 1 - x^2 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \]
Интегрируем от \( -1 \) до \( 1 \):
\[ S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \]
Вычислим интеграл:
\[ S = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \]
Подставляем пределы интегрирования:
\[ S = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 + \frac{(-1)^3}{3} \right) \]
\[ S = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{-1}{3} \right) \]
\[ S = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]
- \( S_{O_{x?}}\, у = -3x + 2, x = 0, x = 5 \)
Интегрируем от 0 до 5:
\[ S = \int_{0}^{5} (-3x + 2) \, dx \]
Вычислим интеграл:
\[ S = \left[ -\frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{5} \]
Подставляем пределы интегрирования:
\[ S = \left( -\frac{3 \cdot 5^2}{2} + 2 \cdot 5 \right) - \left( -\frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right) \]
\[ S = \left( -\frac{75}{2} + 10 \right) \]
\[ S = -\frac{75}{2} + \frac{20}{2} \]
\[ S = -\frac{55}{2} = -27.5 \]
Так как интеграл даёт отрицательное значение, площадь равна 27.5 (берём по модулю).
Таким образом, детальные решения для каждой задачи представлены выше.
