Чтобы решить задачу, давайте вспомним формулу для площади прямоугольного треугольника. Площадь ( S ) прямоугольного треугольника выражается как:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где ( a ) и ( b ) — длины катетов. В нашем случае ( S = 24\sqrt{3} ).
Мы знаем, что один из острых углов ( \alpha = 30^\circ ). В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен ( 30^\circ ), это дает нам возможность использовать свойства тригонометрии.
Вспомним, что в прямоугольном треугольнике с углом ( 30^\circ ):
- Катет, противоположный углу ( 30^\circ ) (обозначим его как ( h )), равен половине гипотенузы.
- Катет, прилежащий к углу ( 30^\circ ) (обозначим его как ( a )), связан с гипотенузой через косинус:
[
\cos(30^\circ) = \frac{a}{c}
]
где ( c ) — длина гипотенузы. Значение ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), а следовательно:
[
a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Поскольку у нас есть угол, противоположный ему (30°), длина катета, противоположного углу ( 30^\circ ) (то есть катет ( b )), равна:
[
b = c \cdot \frac{1}{2}
]
Теперь вернемся к формуле площади:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Подставим выражения для ( a ) и ( b ):
[
S = \frac{1}{2} \cdot \left(c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(c \cdot \frac{1}{2}\right)
]
Упростим:
[
S = \frac{1}{2} \cdot c^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2
]
Теперь приравняем это выражение к ( S = 24\sqrt{3} ):
[
\frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = 24\sqrt{3}
]
Умножим обе стороны уравнения на 8:
[
\sqrt{3} c^2 = 192\sqrt{3}
]
Разделим обе стороны на ( \sqrt{3} ):
[
c^2 = 192
]
Теперь найдём ( c ):
[
c = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}
]
Теперь можем найти катет ( a ):
[
a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \left(8\sqrt{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12
]
Таким образом, длина катета ( a ), прилежащего к углу ( 30^\circ ), равна:
[
\boxed{12}
]
