Дано: площадь прямоугольного треугольника S = 24\sqrt{3}, один из острых углов \alpha = 30^\circ. Найти: длину катета a, прилежащего к углу 30°
Чтобы решить задачу, давайте вспомним формулу для площади прямоугольного треугольника. Площадь \( S \) прямоугольного треугольника выражается как:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
где \( a \) и \( b \) — длины катетов. В нашем случае \( S = 24\sqrt{3} \).
Мы знаем, что один из острых углов \( \alpha = 30^\circ \). В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен \( 30^\circ \), это дает нам возможность использовать свойства тригонометрии.
Вспомним, что в прямоугольном треугольнике с углом \( 30^\circ \):
- Катет, противоположный углу \( 30^\circ \) (обозначим его как \( h \)), равен половине гипотенузы.
- Катет, прилежащий к углу \( 30^\circ \) (обозначим его как \( a \)), связан с гипотенузой через косинус:
\[ \cos(30^\circ) = \frac{a}{c} \]
где \( c \) — длина гипотенузы. Значение \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а следовательно:
\[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Поскольку у нас есть угол, противоположный ему (30°), длина катета, противоположного углу \( 30^\circ \) (то есть катет \( b \)), равна:
\[ b = c \cdot \frac{1}{2} \]
Теперь вернемся к формуле площади:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
Подставим выражения для \( a \) и \( b \):
\[ S = \frac{1}{2} \cdot \left(c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(c \cdot \frac{1}{2}\right) \]
Упростим:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot c^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 \]
Теперь приравняем это выражение к \( S = 24\sqrt{3} \):
\[ \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = 24\sqrt{3} \]
Умножим обе стороны уравнения на 8:
\[ \sqrt{3} c^2 = 192\sqrt{3} \]
Разделим обе стороны на \( \sqrt{3} \):
\[ c^2 = 192 \]
Теперь найдём \( c \):
\[ c = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \]
Теперь можем найти катет \( a \):
\[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \left(8\sqrt{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12 \]
Таким образом, длина катета \( a \), прилежащего к углу \( 30^\circ \), равна:
\[ \boxed{12} \]
