Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии (an), если известно что a13 = 9, a24 =42
Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами арифметической прогрессии (АП).
Шаг 1: Определение общего члена арифметической прогрессии
Общий член арифметической прогрессии можно выразить следующим образом:
\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]
где:
- \( a_n \) — n-й член прогрессии,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии,
- \( d \) — разность прогрессии,
- \( n \) — номер члена.
Шаг 2: Запись известных значений
У нас есть два уравнения, используя данные, которые нам даны:
\( a_{13} = 9 \): \[ a_1 + 12d = 9 \tag{1} \]
\( a_{24} = 42 \): \[ a_1 + 23d = 42 \tag{2} \]
Шаг 3: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Мы можем выразить одно уравнение через другое.
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): \[ (a_1 + 23d) - (a_1 + 12d) = 42 - 9 \] Это упростится до: \[ 11d = 33 \] Следовательно: \[ d = 3 \]
Теперь мы можем подставить значение \( d \) обратно в одно из уравнений, например в (1): \[ a_1 + 12 \times 3 = 9 \] \[ a_1 + 36 = 9 \] \[ a_1 = 9 - 36 = -27 \]
Таким образом, мы нашли первый член прогрессии \( a_1 = -27 \) и разность \( d = 3 \).
Шаг 4: Нахождение суммы всех отрицательных членов
Теперь выведем формулу для n-го члена: \[ a_n = -27 + (n - 1) \cdot 3 \]
Чтобы найти сумму всех отрицательных членов, нам нужно узнать, сколько таких членов существует. Поскольку \( a_n < 0 \): \[ -27 + (n - 1) \cdot 3 < 0 \] Решим это неравенство: \[ (n - 1) \cdot 3 < 27 \] \[ n - 1 < 9 \quad \Rightarrow \quad n < 10 \] Таким образом, все члены до 9-го будут отрицательными.
Шаг 5: Сумма первых 9 отрицательных членов
Теперь найдем сумму первых 9 членов:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где \( n = 9 \), \( a_1 = -27 \), и \( a_9 = -27 + 8 \cdot 3 = -3 \).
Сумма: \[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (-27 - 3) = \frac{9}{2} \cdot (-30) = \frac{9 \cdot -30}{2} = \frac{-270}{2} = -135 \]
Ответ
Сумма всех отрицательных членов арифметической прогрессии равна \(-135\).
