кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найдите вероятность того, что кубик придётся подбрасывать более трёх раз.
2.
Олег кидает мяч в баскетбольную корзину 10 раз. Вероятность попадания при каждом отдельном броске независимо от других равна 0,8. Найдите вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз.
3.
12 чайных чашек упакованы в непрозрачную бумагу и уложены в коробку, из них у 6 рисунок в красный горошек, а у остальных в синий. Из коробки наугад достают 4 чашки. Найдите вероятность того, что из этих 4 чашек только одна будет в синий горошек.
Давайте рассмотрим каждую из задач по отдельности.
---
### Задача 1: Вероятность броска кубика
**Задача:** Кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найдите вероятность того, что кубик придётся подбрасывать более трёх раз.
**Решение:**
1. **Определим событие.** Мы хотим узнать вероятность того, что нам придется бросить кубик более трех раз, чтобы выпала 6.
2. **Обозначим вероятность выпадения 6.** Вероятность того, что на одном броске кубика выпадет 6, равна \(P(6) = \frac{1}{6}\), а вероятность того, что выпадет любое другое число (1, 2, 3, 4, 5), равна \(P(\text{не 6}) = \frac{5}{6}\).
3. **Условие для бросков.** Чтобы бросать кубик более трех раз, в первых трех бросках не должно выпасть 6. Это событие можно представить как три удачных броска, на которых выпадают любые числа от 1 до 5.
4. **Вероятность первых трех бросков.** Вероятность того, что в первых трех бросках не выпало 6:
\[
P(\text{не 6 в 3 бросках}) = \left(\frac{5}{6}\right)^3
\]
5. **Вероятность.** Находим значение:
\[
P(\text{не 6 в 3 бросках}) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}
\]
Таким образом, вероятность того, что кубик придется подбрасывать более трех раз, равна \(\frac{125}{216}\).
---
### Задача 2: Вероятность попадания в корзину
**Задача:** Олег кидает мяч в баскетбольную корзину 10 раз. Вероятность попадания при каждом отдельном броске независимо от других равна 0,8. Найдите вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз.
**Решение:**
1. **Используем формулу для биномиального распределения.** Вероятность получения ровно \(k\) успехов в \(n\) испытаниях можно рассчитать по формуле:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]
где \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
2. **Зададим параметры.**
- \(n = 10\) (число бросков)
- \(k = 5\) (число успешных бросков)
- \(p = 0.8\) (вероятность успеха)
3. **Вычислим биномиальный коэффициент:**
\[
C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252
\]
4. **Подставляем значения в формулу:**
\[
P(X = 5) = 252 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^5
\]
5. **Рассчитаем \(0.8^5\) и \(0.2^5\):**
- \(0.8^5 = 0.32768\)
- \(0.2^5 = 0.00032\)
6. **Считаем итоговую вероятность:**
\[
P(X = 5) = 252 \cdot 0.32768 \cdot 0.00032 \approx 0.02642
\]
Таким образом, вероятность того, что Олег попадёт в корзину ровно 5 раз, приблизительно равна 0.02642.
---
### Задача 3: Вероятность выбора чашек
**Задача:** Из 12 чайных чашек, 6 с красным горошком и 6 с синим, случайно достают 4 чашки. Найдите вероятность того, что из этих 4 чашек только одна будет синий горошек.
**Решение:**
1. **Используем формулу для гипергеометрического распределения.** Вероятность того, что из \(N\) предметов \(K\) предметов одного типа выберут \(k\), можно рассчитать по формуле:
\[
P(X = k) = \frac{C(K, k) \cdot C(N-K, n-k)}{C(N, n)}
\]
где \(k\) — число предметов первого типа, \(n\) — общее число выбираемых предметов.
2. **Зададим параметры.**
- \(N = 12\) (всего чашек)
- \(K = 6\) (чашек с красным горошком)
- Итак, чашки с синим горошком составляют \(N - K = 6\).
- \(n = 4\) (выбираются 4 чашки)
- \(k = 1\) (выбирается 1 чашка с синим горошком)
3. **Вычисляем биномиальные коэффициенты:**
- Для чашек с синим горошком:
\[
C(6, 1) = 6
\]
- Для чашек с красным горошком (выбираем 3):
\[
C(6, 3) = 20
\]
- Всего способов выбрать 4 чашки из 12:
\[
C(12, 4) = 495
\]
4. **Подставляем значения в формулу:**
\[
P(X = 1) = \frac{C(6, 1) \cdot C(6, 3)}{C(12, 4)} = \frac{6 \cdot 20}{495} = \frac{120}{495} \approx 0.2424
\]
Таким образом, вероятность того, что из 4 чашек только одна будет синий горошек, составляет приблизительно 0.2424.
---
Если у вас есть дополнительные вопросы или задачи, пожалуйста, дайте знать!
