Реши задачу. В основании прямой призмы A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ лежит прямоугольник A B C D ABCD . Известно, что A B = 7 , A D = 12 , A A 1 = 5…

Чтобы найти сумму площадей всех граней прямой призмы, начнем с описания ее основных компонентов.

Прямая призма состоит из двух параллельных оснований и боковых граней. В нашей задаче основание — это прямоугольник ABCD, а его высота — это отрезок AA₁. Давайте шаг за шагом посчитаем площади всех граней.

Шаг 1: Находим площадь основания (прямоугольника ABCD)

Заданы размеры прямоугольника:

• AB (ширина) = 7
• AD (длина) = 12

Площадь основания \( S_{основания} \) можно найти по формуле:

\[ S_{основания} = AB \times AD = 7 \times 12 = 84 \]

Шаг 2: Находим площадь боковых граней призмы

У прямой призмы 4 боковых грани, каждая из которых является прямоугольником. Размеры боковых граней можно определить исходя из высоты приза (AA₁) и сторон основания.

1. Грань AABB₁:

   • Высота (AA₁) = 5
   • Площадь \( S_{AABB₁} = AB \times AA₁ = 7 \times 5 = 35 \)

2. Грань BCCD₁:

   • Высота (AA₁) = 5
   • Площадь \( S_{BCCD₁} = BC \times AA₁ = AD \times AA₁ = 12 \times 5 = 60 \)

3. Грань CCDD₁:

   • Аналогична грани BCCD₁, так как она тоже будет с размерами BC = AD и высотой AA₁.
   • Площадь \( S_{CCDD₁} = 60 \)

4. Грань DDAA₁:

   • Аналогична грани AABB₁, так как она тоже с размерами AB и высотой AA₁.
   • Площадь \( S_{DDAA₁} = 35 \)

Шаг 3: Находим общую площадь боковых граней

Теперь вычислим общую площадь боковых граней. Суммируем все четыре площади:

\[ S_{боковые} = S_{AABB₁} + S_{BCCD₁} + S_{CCDD₁} + S_{DDAA₁} = 35 + 60 + 60 + 35 = 190 \]

Шаг 4: Находим общую площадь всех граней призмы

Сумма площадей всех граней призмы будет равна сумме площадей оснований (2 основания) и площадей боковых граней:

\[ S_{все} = 2 \times S_{основания} + S_{боковые} = 2 \times 84 + 190 = 168 + 190 = 358 \]

Ответ:

Сумма площадей всех граней прямой призмы равна 358.