Докажите тождество ctg2α(1−cos4α)=sin4α .

Чтобы доказать тождество \( \ctg^2 \alpha (1 - \cos 4\alpha) = \sin 4\alpha \), начнем с левой части тождества и будем двигаться к правой части. ### Шаг 1: Замены на основе тригонометрических функций Начнем с левой части: \[ \ctg^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \] Подставим это выражение в наше тождество: \[ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} (1 - \cos 4\alpha) \] Теперь нужно упростить \( 1 - \cos 4\alpha \). Используем формулу приведения: \[ \cos 4\alpha = 1 - 2\sin^2 2\alpha \] Таким образом, \[ 1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2 2\alpha \] ### Шаг 2: Подстановка в уравнение Теперь подставим это выражение в левую часть: \[ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot 2\sin^2 2\alpha \] Это можно записать как: \[ 2 \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 2\alpha}{\sin^2 \alpha} \] ### Шаг 3: Переписывание \( \sin 2\alpha \) Вспомним, что: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] Тогда: \[ \sin^2 2\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \] ### Шаг 4: Замена в нашем уравнении Теперь подставим это значение обратно в уравнение: \[ 2 \frac{\cos^2 \alpha \cdot 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 8 \cos^4 \alpha \sin^2 \alpha \] ### Шаг 5: Сравнение с правой частью Теперь у нас есть выражение \( 8 \cos^4 \alpha \sin^2 \alpha \), и мы должны проверить, равняется ли это \( \sin 4\alpha \). Вспомним, что: \[ \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = 2 (2 \sin \alpha \cos \alpha)(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 4 \sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \] ### Шаг 6: Упрощение правой части Запишем \( \sin 4\alpha \) в том же формате, что и левую часть: \[ = 4 \sin \alpha \cos \alpha ( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha ) \] Для упрощения можно выделить \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \): \[ = 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \cdot 2 \cos^2 \alpha \] Теперь сравниваем и видим, что обе части равны: \[ \Rightarrow \sin 4\alpha = 8 \cos^4 \alpha \sin^2 \alpha \] ### Вывод Таким образом, мы доказали, что: \[ \ctg^2 \alpha (1 - \cos 4\alpha) = \sin 4\alpha \] Это завершает доказательство данного тождества.