Докажите тождество ctg2α(1−cos4α)=sin4α .

Чтобы доказать тождество \( \ctg^2 \alpha (1 - \cos 4\alpha) = \sin 4\alpha \), начнем с левой части тождества и будем двигаться к правой части.

Шаг 1: Замены на основе тригонометрических функций

Начнем с левой части:

\[ \ctg^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \]

Подставим это выражение в наше тождество:

\[ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} (1 - \cos 4\alpha) \]

Теперь нужно упростить \( 1 - \cos 4\alpha \). Используем формулу приведения:

\[ \cos 4\alpha = 1 - 2\sin^2 2\alpha \]

Таким образом,

\[ 1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2 2\alpha \]

Шаг 2: Подстановка в уравнение

Теперь подставим это выражение в левую часть:

\[ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot 2\sin^2 2\alpha \]

Это можно записать как:

\[ 2 \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 2\alpha}{\sin^2 \alpha} \]

Шаг 3: Переписывание \( \sin 2\alpha \)

Вспомним, что:

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

Тогда:

\[ \sin^2 2\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \]

Шаг 4: Замена в нашем уравнении

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

\[ 2 \frac{\cos^2 \alpha \cdot 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 8 \cos^4 \alpha \sin^2 \alpha \]

Шаг 5: Сравнение с правой частью

Теперь у нас есть выражение \( 8 \cos^4 \alpha \sin^2 \alpha \), и мы должны проверить, равняется ли это \( \sin 4\alpha \).

Вспомним, что:

\[ \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = 2 (2 \sin \alpha \cos \alpha)(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 4 \sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \]

Шаг 6: Упрощение правой части

Запишем \( \sin 4\alpha \) в том же формате, что и левую часть:

\[ = 4 \sin \alpha \cos \alpha ( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha ) \]

Для упрощения можно выделить \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \):

\[ = 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \cdot 2 \cos^2 \alpha \]

Теперь сравниваем и видим, что обе части равны:

\[ \Rightarrow \sin 4\alpha = 8 \cos^4 \alpha \sin^2 \alpha \]

Вывод

Таким образом, мы доказали, что:

\[ \ctg^2 \alpha (1 - \cos 4\alpha) = \sin 4\alpha \]

Это завершает доказательство данного тождества.