Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,6. Найдите вероятность того, что, сделав 6 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.
Для решения задачи о вероятности попадания стрелка в мишень можно использовать биномиальное распределение. Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.
Определения:
- Пусть \( p = 0.6 \) — это вероятность попадания в мишень (успех).
- Вероятность промаха (не попасть в мишень) будет равна \( q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 \).
- Обозначим количество выстрелов как \( n = 6 \).
- Нам нужно найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз. Это означает, что мы ищем вероятность того, что количество попаданий \( k \) будет больше или равно 2: \( P(X \geq 2) \).
Биномиальная вероятность: Биномиальная вероятность описывается формулой: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n - k)} \] где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, считающийся как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Расчет требуемой вероятности: Сначала найдем вероятность попаданий 0 и 1 раз, а затем вычтем их из 1, чтобы получить \( P(X \geq 2) \): \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \]
Теперь рассчитаем \( P(X = 0) \) и \( P(X = 1) \).
Вероятность 0 попаданий (\( P(X = 0) \)): \[ P(X = 0) = C(6, 0) \cdot p^0 \cdot q^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0.4)^6 \approx 0.004096 \]
Вероятность 1 попадания (\( P(X = 1) \)): \[ P(X = 1) = C(6, 1) \cdot p^1 \cdot q^5 = 6 \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^5 \] Вычисляем \( (0.6) \) и \( (0.4)^5 \): \[ (0.4)^5 = 0.01024 \quad \text{и} \quad P(X = 1) = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.01024 \approx 0.073728 \]
Суммируем вероятности 0 и 1 попадания: \[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.004096 + 0.073728 \approx 0.077824 \]
Теперь находим \( P(X \geq 2) \): \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) \approx 1 - 0.077824 \approx 0.922176 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз, составляет примерно 0.9222 или 92.22%.
