Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи, мы будем использовать свойства квадратичной функции и теорию оптимизации.
Дано, что зависимость поступления налогов (Y) от налоговой ставки (x) описывается квадратичной функцией вида:
\[ Y = ax^2 + bx + c \]
Где:
- \(Y\) — поступления в бюджет,
- \(x\) — ставка налога на продажу в процентах,
- \(a\), \(b\), \(c\) — коэффициенты, которые нам нужно будет найти.
Из условия мы знаем три точки, которые соответствуют процентным ставкам и соответствующим поступлениям:
- \(x = 10\), \(Y = 1.3\)
- \(x = 33\), \(Y = 1.3\)
- \(x = 27\), \(Y = 1.6\)
Подставляем эти значения в наше уравнение.
Для \(x = 10\): \[ 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \] \[ 1.3 = 100a + 10b + c \] (Уравнение 1)
Для \(x = 33\): \[ 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \] \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \] (Уравнение 2)
Для \(x = 27\): \[ 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \] \[ 1.6 = 729a + 27b + c \] (Уравнение 3)
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
\[ \begin{align*} 100a + 10b + c &= 1.3 \quad \text{(1)} \\ 1089a + 33b + c &= 1.3 \quad \text{(2)} \\ 729a + 27b + c &= 1.6 \quad \text{(3)} \\ \end{align*} \]
Теперь вычтем уравнение (1) из уравнений (2) и (3):
Из (2) и (1): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \]
Из (3) и (1): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(5)} \]
Теперь у нас есть две новых уравнения: (4) и (5).
Сначала выразим \(b\) из (4): \[ b = -\frac{989}{23}a \]
Теперь подставим это значение в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16713}{23}a = 0.3 \] Умножим все на 23, чтобы избавиться от знаменателя: \[ 14467a - 16713a = 6.9 \] \[ -2246a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2246} \approx -0.00307 \]
Теперь найдём \(b\): \[ b = -\frac{989}{23}\left(-\frac{6.9}{2246}\right) \approx 0.195 \]
Теперь подставим \(a\) и \(b\) в одно из уравнений, чтобы найти \(c\): \[ 100(-0.00307) + 10(0.195) + c = 1.3 \] \[ -0.307 + 1.95 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 1.643 \approx -0.343 \]
Теперь у нас есть полная форма квадратичной функции: \[ Y = -0.00307x^2 + 0.195x - 0.343 \]
Чтобы найти ставку налога, которая максимизирует \(Y\), мы используем формулу для нахождения вершины параболы: \[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем значения: \[ x_{\text{max}} = -\frac{0.195}{2 \times -0.00307} \approx 31.87 \]
Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 32%.
