Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Для решения данной задачи, мы будем использовать свойства квадратичной функции и теорию оптимизации. Дано, что зависимость поступления налогов (Y) от налоговой ставки (x) описывается квадратичной функцией вида: \[ Y = ax^2 + bx + c \] Где: - \(Y\) — поступления в бюджет, - \(x\) — ставка налога на продажу в процентах, - \(a\), \(b\), \(c\) — коэффициенты, которые нам нужно будет найти. Из условия мы знаем три точки, которые соответствуют процентным ставкам и соответствующим поступлениям: 1. \(x = 10\), \(Y = 1.3\) 2. \(x = 33\), \(Y = 1.3\) 3. \(x = 27\), \(Y = 1.6\) Подставляем эти значения в наше уравнение. 1. Для \(x = 10\): \[ 1.3 = a(10^2) + b(10) + c \] \[ 1.3 = 100a + 10b + c \] (Уравнение 1) 2. Для \(x = 33\): \[ 1.3 = a(33^2) + b(33) + c \] \[ 1.3 = 1089a + 33b + c \] (Уравнение 2) 3. Для \(x = 27\): \[ 1.6 = a(27^2) + b(27) + c \] \[ 1.6 = 729a + 27b + c \] (Уравнение 3) Теперь у нас есть система из трех уравнений: \[ \begin{align*} 100a + 10b + c &= 1.3 \quad \text{(1)} \\ 1089a + 33b + c &= 1.3 \quad \text{(2)} \\ 729a + 27b + c &= 1.6 \quad \text{(3)} \\ \end{align*} \] Теперь вычтем уравнение (1) из уравнений (2) и (3): Из (2) и (1): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \] Из (3) и (1): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(5)} \] Теперь у нас есть две новых уравнения: (4) и (5). Сначала выразим \(b\) из (4): \[ b = -\frac{989}{23}a \] Теперь подставим это значение в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16713}{23}a = 0.3 \] Умножим все на 23, чтобы избавиться от знаменателя: \[ 14467a - 16713a = 6.9 \] \[ -2246a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2246} \approx -0.00307 \] Теперь найдём \(b\): \[ b = -\frac{989}{23}\left(-\frac{6.9}{2246}\right) \approx 0.195 \] Теперь подставим \(a\) и \(b\) в одно из уравнений, чтобы найти \(c\): \[ 100(-0.00307) + 10(0.195) + c = 1.3 \] \[ -0.307 + 1.95 + c = 1.3 \] \[ c = 1.3 - 1.643 \approx -0.343 \] Теперь у нас есть полная форма квадратичной функции: \[ Y = -0.00307x^2 + 0.195x - 0.343 \] Чтобы найти ставку налога, которая максимизирует \(Y\), мы используем формулу для нахождения вершины параболы: \[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_{\text{max}} = -\frac{0.195}{2 \times -0.00307} \approx 31.87 \] Таким образом, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно **32%**.