Построить график фунуции { y= -x², если |x| _< 1, у= |x| -2, если |x| > 1 и определи при каких значениях m функция y=m имеет с графиком ровно три общие точки

Давайте решим задачу поэтапно, начиная с построения графика заданной функции и затем определим значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график нашей функции в ровно трех точках. ### Шаг 1: Изучение функции У нас есть кусочная функция: \[ y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } |x| \leq 1 \\ |x|-2, & \text{если } |x| > 1 \end{cases} \] Это означает, что: - Для \( -1 \leq x \leq 1 \), функция представлена как \( y = -x^2 \) - Для \( |x| > 1 \), функция представлена как \( y = |x| - 2 \) ### Шаг 2: Построение графика 1. **Для \( |x| \leq 1 \)**, график функции \( y = -x^2 \) — это парабола, открытая вниз. - Она пересекает ось Y в точке (0, 0), а в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \) принимает значения \( y = -1 \). 2. **Для \( |x| > 1 \)**, нужно нарисовать линейную часть: - Для \( x > 1 \) функция \( y = x - 2 \), и ее график — прямая (выровненная) с угловым коэффициентом 1, пересекает ось Y в (-2). - Для \( x < -1 \) функция становится \( y = -x - 2 \), что также дает линейную часть, которая пересекает ось Y в (-2) и растет по мере увеличения \( |x| \). ### Шаг 3: Определение значений \( m \) Наша задача сейчас — определить такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки. 1. **Case 1: Пересечение с параболой** - Парабола \( -x^2 \) имеет максимум в точке (0, 0) и убывает с обеих сторон. Прямая может касаться параболы (1 пересечение) или пересекать ее (2 пересечения). 2. **Case 2: Пересечение с линейными участками** - Линейные части \( y = |x| - 2 \) будут пересекаться с прямой \( y = m \) в одной точке, если \( m < -2 \) (график будет ниже линейной части) или в двух точках, если \( m > -2 \). ### Шаг 4: Значения \( m \) Чтобы было ровно три точки пересечения: - Один раз прямая пересекает параболу (в 2 точках) и один раз пересекает одну из линейных частей: **Сценарий 1:** - Может пересекать параболу в 2 точках, если \( m \) больше -1 и меньше 0 (значение на параболе). - Пересекает линейную часть (x > 1 или x < -1) в одной точке. Таким образом, \( m \) должен находиться в диапазоне: \[ -1 < m < 0 \] **Сценарий 2:** - Может пересекать параболу в одной точке (допустим, \( m = -1 \)) и пересекает линейную часть в две точки, что невозможно при данной функции, потому что пересечение с линейной обязательно даст 2 точки. ### Ответ Прямая \( y = m \) пересекает график функции в ровно трех точках, если \( -1 < m < 0 \).