построить график фунуции { y= -x², если |x| _< 1, у= |x| -2, если |x| > 1 и определи при каких значениях m функция y=m имеет с графиком ровно три общие точки

Давайте решим задачу поэтапно, начиная с построения графика заданной функции и затем определим значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график нашей функции в ровно трех точках.

Шаг 1: Изучение функции

У нас есть кусочная функция:

\[ y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } |x| \leq 1 \\ |x|-2, & \text{если } |x| > 1 \end{cases} \]

Это означает, что:

• Для \( -1 \leq x \leq 1 \), функция представлена как \( y = -x^2 \)
• Для \( |x| > 1 \), функция представлена как \( y = |x| - 2 \)

Шаг 2: Построение графика

1. Для \( |x| \leq 1 \), график функции \( y = -x^2 \) — это парабола, открытая вниз.

   • Она пересекает ось Y в точке (0, 0), а в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \) принимает значения \( y = -1 \).

2. Для \( |x| > 1 \), нужно нарисовать линейную часть:

   • Для \( x > 1 \) функция \( y = x - 2 \), и ее график — прямая (выровненная) с угловым коэффициентом 1, пересекает ось Y в (-2).
   • Для \( x < -1 \) функция становится \( y = -x - 2 \), что также дает линейную часть, которая пересекает ось Y в (-2) и растет по мере увеличения \( |x| \).

Шаг 3: Определение значений \( m \)

Наша задача сейчас — определить такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Case 1: Пересечение с параболой

   • Парабола \( -x^2 \) имеет максимум в точке (0, 0) и убывает с обеих сторон. Прямая может касаться параболы (1 пересечение) или пересекать ее (2 пересечения).

2. Case 2: Пересечение с линейными участками

   • Линейные части \( y = |x| - 2 \) будут пересекаться с прямой \( y = m \) в одной точке, если \( m < -2 \) (график будет ниже линейной части) или в двух точках, если \( m > -2 \).

Шаг 4: Значения \( m \)

Чтобы было ровно три точки пересечения:

• Один раз прямая пересекает параболу (в 2 точках) и один раз пересекает одну из линейных частей:

Сценарий 1:

• Может пересекать параболу в 2 точках, если \( m \) больше -1 и меньше 0 (значение на параболе).
• Пересекает линейную часть (x > 1 или x < -1) в одной точке.

Таким образом, \( m \) должен находиться в диапазоне: \[ -1 < m < 0 \]

Сценарий 2:

• Может пересекать параболу в одной точке (допустим, \( m = -1 \)) и пересекает линейную часть в две точки, что невозможно при данной функции, потому что пересечение с линейной обязательно даст 2 точки.

Ответ

Прямая \( y = m \) пересекает график функции в ровно трех точках, если \( -1 < m < 0 \).