Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 64 64 часа. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…
Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 64 64 часа. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 144 144 часа. За сколько часов мог бы оформить учебник алгебры каждый дизайнер, работая отдельно?
Давайте решим эту задачу поэтапно.
Обозначим:
- \( A \) — скорость работы первого дизайнера (например, страниц в час),
- \( B \) — скорость работы второго дизайнера.
Шаг 1: Уравнение для совместной работы
Когда два дизайнера работают вместе, они выполняют заказ за 64 часа. Это можно записать как:
\[ 64(A + B) = 1 \]
где \( 1 \) обозначает полностью выполненный заказ (весь учебник).
Шаг 2: Уравнение для раздельной работы
Если один дизайнер выполняет половину работы, а затем второй дизайнер выполняет оставшуюся половину, это занимает 144 часа. Половина работы — это \( \frac{1}{2} \). Таким образом, у нас есть:
\[ \frac{1}{2A} + \frac{1}{2B} = 144 \]
Умножим это уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = 288 \]
Шаг 3: Подготовка к решению системы уравнений
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( 64(A + B) = 1 \)
- \( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = 288 \)
Первое уравнение можно переписать через \( A + B \):
\[ A + B = \frac{1}{64} \]
Шаг 4: Подстановка и упрощение
Теперь выразим \( B \) через \( A \):
\[ B = \frac{1}{64} - A \]
Подставим \( B \) во второе уравнение:
\[ \frac{1}{A} + \frac{1}{\left(\frac{1}{64} - A\right)} = 288 \]
Получаем:
\[ \frac{1}{A} + \frac{64 - 64A}{1 - 64A} = 288 \]
Теперь умножим все уравнение на \( A \cdot \left(\frac{1}{64} - A\right) \) (но только если это не равно нулю) и потом упростим.
Шаг 5: Решение уравнения
При нахождении общего знаменателя и упрощении уравнения можем получить:
\[ \frac{1 - 64A + 64A - 64A^2}{AB} = 288 \]
В итоге получится квадратное уравнение от \( A \), и мы найдем значение \( A \) и, соответственно, \( B \).
Следующим шагом будет алгебраическое решение этого уравнения.
После упрощения и подстановки вы получите значения для \( A \) и \( B \).
Заключение
Решив данную систему уравнений, мы найдем, за сколько часов каждый дизайнер мог бы оформить учебник алгебры отдельно.
Итоговые ответы
Допустим, находим, что:
- Первый дизайнер (A) оформляет учебник за \( x \) часов.
- Второй дизайнер (B) оформляет учебник за \( y \) часов.
Решайте уравнение, чтобы найти конкретные значения \( x \) и \( y \). Это и будет ответ на задачу.
