Для решения этой задачи сначала определим физические принципы, связанные с пружинами и электрическими зарядами, а затем проведем необходимые расчеты.
Дано:
- Жесткость пружин ( k = 1,94 , \text{Н/м} )
- Заряд каждого объекта ( Q = 900 , \text{нКл} = 900 \times 10^{-9} , \text{Кл} )
- Растяжение пружины ( \Delta x = 0,8 , \text{см} = 0,008 , \text{м} )
Шаг 1: Найдем силу, возникающую в пружине при растяжении
Сила пружины, возникающая при растяжении, рассчитывается по закону Гука:
[
F_{\text{пружины}} = k \cdot \Delta x
]
Подставим известные значения:
[
F_{\text{пружины}} = 1,94 , \text{Н/м} \cdot 0,008 , \text{м} = 0,01552 , \text{Н}
]
Шаг 2: Найдем силу, возникающую из-за электростатического взаимодействия между зарядами
Сила электрического взаимодействия между двумя зарядами описывается законом Кулона:
[
F_{\text{электрическая}} = k_e \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}
]
где ( k_e ) — электрическая постоянная (приблизительно ( 8,99 \times 10^9 , \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 )), ( Q_1 ) и ( Q_2 ) — заряды, а ( r ) — расстояние между зарядами.
В нашем случае:
[
F_{\text{электрическая}} = k_e \cdot \frac{Q^2}{r^2}
]
Шаг 3: Сравним силы
При равновесии:
[
F_{\text{пружины}} = F_{\text{электрическая}}
]
Подставим выражения:
[
k \cdot \Delta x = k_e \cdot \frac{Q^2}{r^2}
]
Шаг 4: Изменим формулу для нахождения длины пружины
Теперь мы можем выразить ( r ):
[
r^2 = k_e \cdot \frac{Q^2}{k \cdot \Delta x}
]
[
r = \sqrt{k_e \cdot \frac{Q^2}{k \cdot \Delta x}}
]
Шаг 5: Подставим известные значения
- Находим ( Q^2 ):
[
Q^2 = (900 \times 10^{-9})^2 = 810000 \times 10^{-18} = 8,1 \times 10^{-13} , \text{Кл}^2
]
- Подставим все значения в формулу:
[
r = \sqrt{8,99 \times 10^9 \cdot \frac{8,1 \times 10^{-13}}{1,94 \cdot 0,008}}
]
- Сначала вычислим знаменатель:
[
1,94 \cdot 0,008 = 0,01552
]
- Подставляем в формулу:
[
r = \sqrt{8,99 \times 10^9 \cdot \frac{8,1 \times 10^{-13}}{0,01552}}
]
- Вычислим:
[
\frac{8,1 \times 10^{-13}}{0,01552} \approx 5,219 \times 10^{-11}
]
- Теперь:
[
r = \sqrt{8,99 \times 10^9 \cdot 5,219 \times 10^{-11}}
]
- Итак:
[
r \approx \sqrt{0,468}{\cdots} \approx 0,684 , \text{м}
]
Ответ:
Длина пружины в первоначальном состоянии (до растяжения) составляет примерно 0,68 м (или 68 см), округленно до сотых.
