Докажите, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического.
Для того чтобы доказать, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического, давайте обозначим отрезки как \( a \) и \( b \).
Определение средней арифметической и средней геометрической:
- Среднее арифметическое двух чисел \( a \) и \( b \) определяется как: \[ A = \frac{a + b}{2} \]
- Среднее геометрическое этих же чисел определяется как: \[ G = \sqrt{ab} \]
Неравенство, которое нужно доказать: Мы хотим доказать, что: \[ G \leq A \] То есть: \[ \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \]
Квадрат обеих сторон: Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат (это возможно, так как все числа неотрицательные): \[ ab \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \] Далее, выразим правую часть: \[ \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \]
Перепишем неравенство: После подстановки получаем: \[ ab \leq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \]
Умножим обе стороны на 4: Умножим обе стороны неравенства на 4 (это также допустимо, т.к. число 4 положительное): \[ 4ab \leq a^2 + 2ab + b^2 \]
Переносим все к одной стороне: Выразим неравенство в более простой форме: \[ 0 \leq a^2 - 2ab + b^2 \] Это можно переписать как: \[ 0 \leq (a - b)^2 \]
Заключение: Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то неравенство \( (a - b)^2 \geq 0 \) всегда верно.
Таким образом, мы получили, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического: \[ \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \]
Это и есть требуемое доказательство.
