Докажите, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического.

Для того чтобы доказать, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического, давайте обозначим отрезки как \( a \) и \( b \). 1. **Определение средней арифметической и средней геометрической:** - Среднее арифметическое двух чисел \( a \) и \( b \) определяется как: \[ A = \frac{a + b}{2} \] - Среднее геометрическое этих же чисел определяется как: \[ G = \sqrt{ab} \] 2. **Неравенство, которое нужно доказать:** Мы хотим доказать, что: \[ G \leq A \] То есть: \[ \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \] 3. **Квадрат обеих сторон:** Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат (это возможно, так как все числа неотрицательные): \[ ab \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \] Далее, выразим правую часть: \[ \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \] 4. **Перепишем неравенство:** После подстановки получаем: \[ ab \leq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \] 5. **Умножим обе стороны на 4:** Умножим обе стороны неравенства на 4 (это также допустимо, т.к. число 4 положительное): \[ 4ab \leq a^2 + 2ab + b^2 \] 6. **Переносим все к одной стороне:** Выразим неравенство в более простой форме: \[ 0 \leq a^2 - 2ab + b^2 \] Это можно переписать как: \[ 0 \leq (a - b)^2 \] 7. **Заключение:** Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то неравенство \( (a - b)^2 \geq 0 \) всегда верно. Таким образом, мы получили, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического: \[ \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \] Это и есть требуемое доказательство.