. В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил…
. В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 288 рублей с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 320 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Для решения этой задачи начнем с того, что обозначим количество акций, которые были у акционера Б. до покупки последней акции, как \( n \).
Шаг 1: Вычисление общей стоимости акций
Исходя из условия, средняя цена акций акционера Б. равна 288 рублей. Эта средняя цена рассчитывается как общая стоимость акций, деленная на количество акций:
\[ \text{Средняя цена} = \frac{\text{Общая стоимость}}{n} \]
Отсюда мы можем выразить общую стоимость акций:
\[ \text{Общая стоимость} = 288n \]
Шаг 2: Учет покупки новой акции
После покупки еще одной акции за 500 рублей общее количество акций увеличивается на 1, то есть становится \( n + 1 \). Новая общая стоимость акций также увеличивается на 500 рублей, следовательно, она будет равна:
\[ \text{Новая общая стоимость} = 288n + 500 \]
Шаг 3: Вычисление новой средней цены
Теперь мы можем выразить новую среднюю цену после покупки:
\[ \text{Новая средняя цена} = \frac{288n + 500}{n + 1} \]
Согласно условию, эта новая средняя цена не достигает 320 рублей, то есть:
\[ \frac{288n + 500}{n + 1} < 320 \]
Шаг 4: Умножение на (n + 1)
Умножим обе части неравенства на \( n + 1 \) (это положительное число, так как количество акций n имеем в пределах от 1 до бесконечности):
\[ 288n + 500 < 320(n + 1) \]
Шаг 5: Преобразование неравенства
Раскроем скобки:
\[ 288n + 500 < 320n + 320 \]
Переносим все слагаемые с \( n \) на одну сторону:
\[ 500 - 320 < 320n - 288n \]
Это упрощается до:
\[ 180 < 32n \]
Шаг 6: Решение для n
Теперь выразим \( n \):
\[ n > \frac{180}{32} = 5.625 \]
Так как \( n \) — это количество акций, оно должно быть целым числом, следовательно:
\[ n \geq 6 \]
Шаг 7: Проверка значений
Таким образом, самое меньшее значение \( n \), которое мы можем взять, чтобы удовлетворять всем условиям задачи — это 6.
Теперь проверим, что происходит, если у акционера 6 акций.
Если акционер имеет 6 акций, то общая стоимость: \[ 288 \times 6 = 1728 \text{ рублей.} \]
После покупки одной акции за 500 рублей: \[ \text{Новая общая стоимость} = 1728 + 500 = 2228 \text{ рублей.} \]
Количество акций теперь равно \( 6 + 1 = 7 \).
Рассчитаем новую среднюю цену: \[ \text{Новая средняя цена} = \frac{2228}{7} \approx 318.29 \text{ рублей,} \] что действительно меньше 320 рублей.
Таким образом, минимальное количество акций, которое могло быть у акционера Б до покупки последней акции, равно 6.
