В треугольнике ABC медиана AD со стороной AB составляет угол 45 ∘ , а со стороной AC угол 30 ∘ . Найти AC, если AB = 81 √ 2 .

Давайте решим задачу, используя данные об углах и длине стороны.

Дано:

• Треугольник ABC
• Медиана AD
• \( AB = 81\sqrt{2} \)
• Углы:
  • \( \angle BAD = 45^\circ \)
  • \( \angle CAD = 30^\circ \)

Необходимо найти:

• Длину стороны \( AC \).

Решение:

1. Определим длины отрезков:

   Медиана делит сторону BC на две равные части. Обозначим \( D \) - середина стороны \( BC \). Тогда \( BD = DC \).

   В треугольнике \( ABD \):

   • Поскольку \( \angle BAD = 45^\circ \), мы можем использовать свойства треугольника и функции синуса или косинуса.

2. Найдем длину \( AD \) с использованием теоремы о медиане:

   Согласно теореме о медиане, длина медианы можно выразить через длины сторон:

   \[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

   где \( m_a \) - длина медианы, \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).

   В данном случае: \[ AD = \frac{1}{2} \sqrt{2(AC^2) + 2(81\sqrt{2})^2 - BC^2} \]

3. Вычислим тригонометрические функции:

   В треугольнике \( ABD \) и \( ACD \):

   • Для \( \triangle ABD \) с углом \( 45^\circ \): \[ AB = 81\sqrt{2}, \quad AD = AB \cdot \sin(45^\circ) = 81\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 81 \]

   • Для \( \triangle ACD \) с углом \( 30^\circ \): \[ AC = AD \cdot \sin(30^\circ) = 81 \cdot \frac{1}{2} = 40.5 \]

4. Согласно синусам углов в треугольнике:

   Вернемся к медиане и угловым выражениям:

   Теперь с использованием формулы синусов, можно также проверить:

   В треугольнике ABC: \[ \frac{AC}{\sin(45^\circ)} = \frac{AB}{\sin(30^\circ)} \]

   То есть: \[ AC = AB \cdot \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} = 81\sqrt{2} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = 81 \cdot 2 = 162 \]

Ответ:

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \( 162 \).