Чтобы решить задачу о вероятности отказа 4 узлов из 10, когда вероятность безотказной работы каждого узла равна ( p = 0.8 ), будем использовать биномиальное распределение.
Шаг 1: Определим параметры
В нашей задаче:
- ( n = 10 ) (общее количество узлов)
- ( k = 4 ) (количество узлов, которые вышли из строя)
- ( p = 0.2 ) (вероятность отказа узла, поскольку безотказная работа ( p = 0.8 ))
Вероятность отказа (то есть вероятность того, что узел вышел из строя) равна ( 1 - p = 0.2 ).
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что произойдут ровно ( k ) успехов (в нашем случае отказов) в ( n ) независимых испытаниях задается формулой:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} )
Шаг 3: Подсчитаем биномиальный коэффициент
Для нашей задачи:
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!}
]
Вычислим ( 10! ), ( 4! ) и ( 6! ):
- ( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! )
- ( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 )
- ( 6! = 720 )
Теперь подставляем в формулу:
[
C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210
]
Шаг 4: Подсчитаем вероятность
Теперь можем подставить все значения в формулу:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.2)^4 \cdot (0.8)^{6}
]
Вычислим ( (0.2)^4 = 0.0016 ) и ( (0.8)^{6} ):
[
(0.8)^{6} = 0.262144
]
Теперь подставим в формулу:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0.0016 \cdot 0.262144
]
Шаг 5: Окончательный расчет
Теперь умножим все:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0.0016 \cdot 0.262144 \approx 0.08808
]
Таким образом, вероятность того, что за время ( t ) откажет 4 узла, составляет примерно 0.08808 или 8.8%.
Решение с использованием Excel
Чтобы выполнить все расчеты в Excel, можно использовать следующие шаги:
- Вводим значения ( n ), ( k ), ( p ) в отдельные ячейки.
- Используем формулу для биномиального коэффициента:
- В ячейке с формулой:
=COMBIN(10, 4)
- Вычисляем ( (0.2)^4 ) и ( (0.8)^6 ):
- В ячейке:
=0.2^4
- В ячейке:
=0.8^6
- Умножаем все вместе:
- В ячейке:
=COMBIN(10, 4) * (0.2^4) * (0.8^6)
В результате Excel выдаст значение вероятности отказа 4 узлов.
