Новый Год праздновали 32 сотрудника трёх отделений банка. В малом отделении сотрудников меньше, а в большом – больше, чем в среднем. Все расселись вокруг праздничного стола. Посмотрев на своего соседа справа, каждый сидящий за столом подумал: – Солжёт тот, кто скажет, будто сидящий от меня по правую руку работает в более крупном отделении, чем я. Среди подуманных мыслей ровно 20 оказались ошибочными. Сколько сотрудников в среднем отделе?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. **Понимание данных:** - Всего сотрудников: 32. - Есть три отдела: малый, средний и большой. - Предположим, что в среднем отделе \( x \) сотрудников. Тогда в малом отделе должно быть меньше, чем в среднем (то есть меньше \( x \)), и в большом отделе – больше, чем в среднем (то есть больше \( x \)). - Поскольку сумма сотрудников всех отделов равна 32, обозначим: - \( m \) – количество сотрудников в малом отделе - \( s \) – количество сотрудников в среднем отделе (то есть \( s = x \)) - \( b \) – количество сотрудников в большом отделе Итак, мы имеем: \[ m + s + b = 32 \] 2. **Условия задачи:** - \( m < s \) и \( b > s \). - Каждый сотрудник думает о том, что сосед справа работает в более крупном отделе, чем он сам. - Ошибочные мысли: 20. 3. **Анализ ошибок:** Если сотрудник из меньшего отдела (малого) сидит рядом с сотрудником из среднего или большого, он подумает, что сосед – из более крупного отдела. Все сотрудники из большого отдела будут думать, что соседи из среднего или малого отдела не могут быть из более крупного отдела. Учитывая, что среди 32 сотрудников 20 думали неправильно, это означает, что 20 сотрудников ошибочно считали, что их соседи из более крупных отделов. 4. **Формулирование уравнения для ошибок:** - Сотрудники из малого отдела (скажем, \( m \)) ошибочно считают, что их соседи – из среднего или большого; - Сотрудники из среднего отдела (\( s \)) ошибочно считают, что соседи из большого. Но сотрудники из среднего отдела не ошибаются, если соседи из малого; - Сотрудники из большого отдела не могут ошибаться, глядя на соседей из среднего или малого. Итак, чтобы число ошибочных мыслей составило 20, мы можем записать: \[ m + 2s = 20 \] (Поскольку каждый из \( s \) думает об ошибочном числе своих соседей из большого отдела, и каждый из \( m \) тоже думает об обоих соседях.) 5. **Система уравнений:** У нас есть две системы уравнений: \[ m + s + b = 32 \] \[ m + 2s = 20 \] 6. **Теперь подставим \( b = 32 - m - s \) в второе уравнение:** Подставим за \( b \): \[ m + 2s = 20 \\ b = 32 - m - s \implies s = 32 - m - b \] Так как \( b > s \), то \( 32 - m - b > s \). Теперь мы можем выразить \( b \): \[ b = 32 - m - s \geq s \] При расчетах будьте внимательны. Заменим \( s \): \[ 32 - m - s \geq s \implies 32 - m \geq 2s \implies m \leq 32 - 2s \] 7. **Определение количества сотрудников в среднем отделе:** Этот процесс концентрирует нас на значении \( s \). Попробуем считать числа, чтобы получить целое значение. Подбираем значения: - Если \( s = 15 \) (средний отдел) -> подставляем: \( m + 2(15) = 20 \Rightarrow m + 30 = 20 \Rightarrow m = -10 \) – не подходит. - Если \( s = 10 \): \[ m + 2 \times 10 = 20 \Rightarrow m + 20 = 20 \Rightarrow m = 0, b = 32 - 0 - 10 = 22 \text{ (совершенно не подходит).} \] - Если \( s = 12 \): \[ m + 2 \times 12 = 20 \Rightarrow m + 24 = 20 \Rightarrow m = -4 \text{ (не подходит).} \] - Подбор \( s = 8 \): \[ m + 2 \cdot 8 = 20 \Rightarrow m + 16 = 20 \Rightarrow m = 4 \] Теперь \( b = 32 - 8 - 4 = 20, \text{ значит }. \] **Проверка:** - 4 (м) + 8 (с) + 20 (б) = 32; - Ошибки: 4 (из малого) думают, что соседи большие и 8 (из среднего). Таким образом, сотрудники в среднем отделе составляют \( \boxed{8} \).