. В дереве 100 вершин. Найдите среднее арифметическое степеней всех вершин этого дерева.
Чтобы найти среднее арифметическое степеней всех вершин дерева с 100 вершинами, начнем с определения понятия степени вершины и некоторых свойств деревьев.
Шаг 1: Понимание степени вершины
Степенью вершины в графе (включая дерево) называется количество рёбер, инцидентных этой вершине. В дереве степень каждой вершины может варьироваться от 1 (для листовой вершины) до \(n-1\) (для центральной вершины, если дерево сбалансированное).
Шаг 2: Свойства дерева
- Дерево — это связный ациклический граф.
- В дереве с \(n\) вершинами количество рёбер всегда равно \(n - 1\). То есть, если у нас есть 100 вершин, то в дереве будет 99 рёбер.
Шаг 3: Сумма степеней вершин
Сумма степеней всех вершин в графе (в том числе и в дереве) равна удвоенному числу рёбер. Это происходит потому, что каждое ребро соединяет две вершины, и поэтому оно учитывается в степени обеих.
Таким образом, если в нашем дереве 99 рёбер, то сумма степеней всех вершин будет:
\[ \text{Сумма степеней} = 2 \times \text{Количество рёбер} = 2 \times 99 = 198 \]
Шаг 4: Среднее арифметическое степени вершин
Среднее арифметическое степеней всех вершин можно найти, разделив сумму степеней на количество вершин:
\[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{\text{Сумма степеней}}{\text{Количество вершин}} = \frac{198}{100} = 1.98 \]
Ответ
Таким образом, среднее арифметическое степеней всех вершин данного дерева с 100 вершинами составляет 1.98.
