секции по спортивной гимнастике занимаются 11 11 ребят с тренером. Для участия в соревнованиях нужно собрать команду из пяти человек. Сколькими способами можно это сделать?

Для решения задачи о формировании команды из 5 человек из 11 ребят, нам нужно использовать комбинаторику. В данном случае мы будем использовать формулу для сочетаний.

Сочетания – это способ выбрать объекты из группы, когда порядок выбора не важен.

Формула для вычисления количества сочетаний \( C(n, k) \) (где \( n \) – общее количество объектов, а \( k \) – количество выбираемых объектов) выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

Где \( n! \) (факториал n) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

В нашем случае:

• \( n = 11 \) (общее количество ребят)
• \( k = 5 \) (количество ребят в команде)

Теперь подставляем числа в формулу:

\[ C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11 - 5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \]

Вычислим факториалы:

• \( 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (мы можем сократить \( 6! \) в числителе и знаменателе)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
• \( 6! = 720 \)

Теперь подставляем:

\[ C(11, 5) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{120} \]

Теперь выполним умножение в числителе:

\[ 11 \times 10 = 110 \] \[ 110 \times 9 = 990 \] \[ 990 \times 8 = 7920 \] \[ 7920 \times 7 = 55440 \]

Итак, \( C(11, 5) \) равняется:

\[ C(11, 5) = \frac{55440}{120} \]

Чтобы разделить, выполните деление:

\[ 55440 \div 120 = 462 \]

Таким образом, количество способов собрать команду из 5 человек из 11 ребят составляет 462.

Ответ: 462 способа.