Для решения задачи о формировании команды из 5 человек из 11 ребят, нам нужно использовать комбинаторику. В данном случае мы будем использовать формулу для сочетаний.
Сочетания – это способ выбрать объекты из группы, когда порядок выбора не важен.
Формула для вычисления количества сочетаний ( C(n, k) ) (где ( n ) – общее количество объектов, а ( k ) – количество выбираемых объектов) выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
Где ( n! ) (факториал n) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
В нашем случае:
- ( n = 11 ) (общее количество ребят)
- ( k = 5 ) (количество ребят в команде)
Теперь подставляем числа в формулу:
[
C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11 - 5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!}
]
Вычислим факториалы:
- ( 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! ) (мы можем сократить ( 6! ) в числителе и знаменателе)
- ( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 )
- ( 6! = 720 )
Теперь подставляем:
[
C(11, 5) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{120}
]
Теперь выполним умножение в числителе:
[
11 \times 10 = 110
]
[
110 \times 9 = 990
]
[
990 \times 8 = 7920
]
[
7920 \times 7 = 55440
]
Итак, ( C(11, 5) ) равняется:
[
C(11, 5) = \frac{55440}{120}
]
Чтобы разделить, выполните деление:
[
55440 \div 120 = 462
]
Таким образом, количество способов собрать команду из 5 человек из 11 ребят составляет 462.
Ответ: 462 способа.
