Две турбазы расположены на реке, и расстояние между ними по реке составляет 36 км. Моторная лодка, двигаясь с постоянной скоростью, затрачивает 5 часов на рейс туда и обратно между этими турбазами. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы решить задачу о скорости моторной лодки, давайте обозначим некоторые переменные и разберем ее по шагам. Обозначим: - \( v \) — скорость лодки в стоячей воде (в км/ч). - Скорость течения реки равна 3 км/ч. Лодка движется по реке в обе стороны: 1. **По течению:** скорость лодки будет \( v + 3 \) км/ч (так как течения помогает лодке). 2. **Против течения:** скорость лодки будет \( v - 3 \) км/ч (течение препятствует движению лодки). Расстояние между турбазами по реке составляет 36 км, поэтому время, необходимое на каждую часть пути, будет рассчитываться следующим образом: - **Время в пути по течению (туда):** \[ t_1 = \frac{36}{v + 3} \] - **Время в пути против течения (обратно):** \[ t_2 = \frac{36}{v - 3} \] Согласно условию задачи, общее время в пути (туда и обратно) составляет 5 часов. Таким образом, можем записать уравнение: \[ t_1 + t_2 = 5 \] Подставим выражения для времени: \[ \frac{36}{v + 3} + \frac{36}{v - 3} = 5 \] Теперь упростим это уравнение. Для удобства, умножим обе стороны уравнения на \( (v + 3)(v - 3) \): \[ 36(v - 3) + 36(v + 3) = 5(v^2 - 9) \] Раскроем скобки: \[ 36v - 108 + 36v + 108 = 5v^2 - 45 \] Соберем все вместе: \[ 72v = 5v^2 - 45 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 5v^2 - 72v - 45 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \] Теперь найдем корни уравнения по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 \pm \sqrt{6084}}{10} \] Посчитаем \( \sqrt{6084} \) (это 78): \[ v = \frac{72 \pm 78}{10} \] Теперь находим два значения для \( v \): 1. \( v_1 = \frac{150}{10} = 15 \) км/ч (скорость в стоячей воде). 2. \( v_2 = \frac{-6}{10} = -0.6 \) км/ч (не может быть отрицательной скорости, отбрасываем это решение). Таким образом, скорость моторной лодки в стоячей воде составляет **15 км/ч**.