В вашем вопросе можно выделить уточняющие и уточняемые члены предложения, чтобы понять их грамматическую роль и связь. Давайте проанализируем ваши примеры:
Вдали, ближе к роще, стучали топоры.
- Уточняющий член: "ближе к роще" (уточняет место "вдали").
- Уточняемая часть: "вдали".
Теперь же, после половодья, это была река саженей в шесть.
- Уточняющий член: "после половодья" (уточняет время).
- Уточняемая часть: "теперь же".
Где-то там, на просторах Азии, родилась эта то затухающая, то вспыхивающая вражда.
- Уточняющий член: "на просторах Азии" (уточняет место).
- Уточняемая часть: "где-то там".
Я решил остаться ещё на день, заночевав в лесу, в версте от озера.
- Уточняющий член: "в лесу" и "в версте от озера" (уточняют место заночевки).
- Уточняемая часть: "заноceвав на день".
В небе по ночам грохотал гром, а днём, ближе к полудню, пел жаворонок.
- Уточняющий член: "ближе к полудню" (уточняет время).
- Уточняемая часть: "днём".
Молодая девушка, лет двадцати, радушно улыбаясь, пригласила меня.
- Уточняющий член: "лет двадцати" (уточняет возраст).
- Уточняемая часть: "молодая девушка".
Здесь, на лесистом берегу пруда, он, утомлённый, задыхающийся, разваливался на густой сыроватой траве, утопая в ней.
- Уточняющий член: "на лесистом берегу пруда" (уточняет место).
- Уточняемая часть: "здесь".
В каждом примере уточняющие члены предложения помогают дать дополнительную информацию о чем-то, что упоминается в предложении, уточняя его. Уточняемые члены – это те части предложения, о которых идет речь и которые получают дополнительную информацию.