у=(5х+2)⁴

Чтобы понять, как работать с выражением \( y = (5x + 2)^4 \), давайте рассмотрим его шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание выражения

Выражение \( (5x + 2)^4 \) означает, что мы должны возвести в четвертую степень сумму \( 5x + 2 \). Это значит, что мы будем умножать \( (5x + 2) \) на себя четыре раза:

\[ (5x + 2)(5x + 2)(5x + 2)(5x + 2) \]

Шаг 2: Использование бинома Ньютона

Чтобы упростить выражение, мы можем использовать Бином Ньютона. Формула для возведения в степень выглядит так:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

Где:

• \( a = 5x \)
• \( b = 2 \)
• \( n = 4 \)

Шаг 3: Применение формулы

Теперь подставим значения в формулу:

\[ (5x + 2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (5x)^{4-k} (2)^k \]

Теперь найдем каждое слагаемое в сумме:

• При \( k = 0 \):
  \(\binom{4}{0} (5x)^4 (2)^0 = 1 \cdot 625x^4 \cdot 1 = 625x^4\)

• При \( k = 1 \):
  \(\binom{4}{1} (5x)^3 (2)^1 = 4 \cdot 125x^3 \cdot 2 = 1000x^3\)

• При \( k = 2 \):
  \(\binom{4}{2} (5x)^2 (2)^2 = 6 \cdot 25x^2 \cdot 4 = 600x^2\)

• При \( k = 3 \):
  \(\binom{4}{3} (5x)^1 (2)^3 = 4 \cdot 5x \cdot 8 = 160x\)

• При \( k = 4 \):
  \(\binom{4}{4} (5x)^0 (2)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16\)

Шаг 4: Сложение всех слагаемых

Теперь сложим все полученные слагаемые:

\[ y = 625x^4 + 1000x^3 + 600x^2 + 160x + 16 \]

Итог

Таким образом, мы получили разложенное значение для \( y = (5x + 2)^4 \):

\[ y = 625x^4 + 1000x^3 + 600x^2 + 160x + 16 \]

Теперь у вас есть полное разложение выражения, и вы понимаете, как использовать формулу бинома Ньютона для таких задач. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!