Чтобы представить бесконечную десятичную периодическую дробь (0.\overline{21}) в виде обыкновенной дроби, следуем следующему пошаговому процессу:
Шаг 1: Обозначаем дробь
Обозначим ( x = 0.\overline{21} ). Это означает, что ( x = 0.21212121...) и так далее, где "21" постоянно повторяется.
Шаг 2: Устранение периода
Чтобы избавиться от периодической части, умножим обе стороны уравнения ( x = 0.212121...) на (100) (поскольку период "21" состоит из 2 цифр):
[
100x = 21.212121...
]
Теперь у нас есть два уравнения:
- ( x = 0.212121...)
- ( 100x = 21.212121...)
Шаг 3: Вычтем первое уравнение из второго
Вычтем первое уравнение из второго:
[
100x - x = 21.212121... - 0.212121...
]
Это даст:
[
99x = 21
]
Шаг 4: Найдем значение ( x )
Теперь, чтобы найти ( x ), разделим обе стороны уравнения на (99):
[
x = \frac{21}{99}
]
Шаг 5: Упростим дробь
Теперь нам нужно упростить дробь ( \frac{21}{99} ). Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел (21) и (99).
- Разложим (21): (21 = 3 \times 7)
- Разложим (99): (99 = 3^2 \times 11)
Общий делитель — (3). Теперь делим числитель и знаменатель на (3):
[
\frac{21 \div 3}{99 \div 3} = \frac{7}{33}
]
Ответ
Таким образом, бесконечная десятичная периодическая дробь (0.\overline{21}) в виде обыкновенной дроби представляется как:
[
\frac{7}{33}
]
