представьте бесконечные десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби 0,(21)
Чтобы представить бесконечную десятичную периодическую дробь \(0.\overline{21}\) в виде обыкновенной дроби, следуем следующему пошаговому процессу:
Шаг 1: Обозначаем дробь
Обозначим \( x = 0.\overline{21} \). Это означает, что \( x = 0.21212121...\) и так далее, где "21" постоянно повторяется.
Шаг 2: Устранение периода
Чтобы избавиться от периодической части, умножим обе стороны уравнения \( x = 0.212121...\) на \(100\) (поскольку период "21" состоит из 2 цифр):
\[ 100x = 21.212121... \]
Теперь у нас есть два уравнения:
- \( x = 0.212121...\)
- \( 100x = 21.212121...\)
Шаг 3: Вычтем первое уравнение из второго
Вычтем первое уравнение из второго:
\[ 100x - x = 21.212121... - 0.212121... \]
Это даст:
\[ 99x = 21 \]
Шаг 4: Найдем значение \( x \)
Теперь, чтобы найти \( x \), разделим обе стороны уравнения на \(99\):
\[ x = \frac{21}{99} \]
Шаг 5: Упростим дробь
Теперь нам нужно упростить дробь \( \frac{21}{99} \). Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел \(21\) и \(99\).
- Разложим \(21\): \(21 = 3 \times 7\)
- Разложим \(99\): \(99 = 3^2 \times 11\)
Общий делитель — \(3\). Теперь делим числитель и знаменатель на \(3\):
\[ \frac{21 \div 3}{99 \div 3} = \frac{7}{33} \]
Ответ
Таким образом, бесконечная десятичная периодическая дробь \(0.\overline{21}\) в виде обыкновенной дроби представляется как:
\[ \frac{7}{33} \]
