Решим задачу шаг за шагом.
Вова загадал двузначное число. Обозначим это число как ( 10a + b ), где ( a ) — первая (десятковая) цифра, а ( b ) — вторая (единичная) цифра. Поскольку число двузначное, ( a ) может принимать значения от 1 до 9, а ( b ) — от 0 до 9.
Согласно условию задачи, Вова выполняет такие действия:
- Умножает загаданное число на первую цифру:
[
(10a + b) \cdot a
]
- Затем результат умножает на вторую цифру:
[
((10a + b) \cdot a) \cdot b = 408
]
Теперь запишем уравнение:
[
(10a + b) \cdot a \cdot b = 408
]
Распишем это уравнение:
[
10a^2b + ab^2 = 408
]
Теперь нам нужно подставить возможные значения ( a ) и ( b ). Поскольку ( a ) и ( b ) являются целыми числами, давайте попробуем перебрать значения для ( a ) от 1 до 9, и для каждого ( a ) подберем возможные значения ( b ) от 0 до 9.
Перебор значений:
Для ( a = 1 ):
[
10 \cdot 1^2 b + 1 \cdot b^2 = 408 \
10b + b^2 = 408 \longrightarrow b^2 + 10b - 408 = 0
]
Решим это уравнение. Дискриминант:
[
D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-408) = 100 + 1632 = 1732
]
Поскольку D не является полным квадратом, ( b ) нецелое.
Для ( a = 2 ):
[
10 \cdot 2^2 b + 2 \cdot b^2 = 408 \
40b + 2b^2 = 408 \longrightarrow 2b^2 + 40b - 408 = 0 \
b^2 + 20b - 204 = 0
]
Дискриминант:
[
D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-204) = 400 + 816 = 1216
]
Не является полным квадратом.
Для ( a = 3 ):
[
10 \cdot 3^2 b + 3 \cdot b^2 = 408 \
90b + 3b^2 = 408 \longrightarrow 3b^2 + 90b - 408 = 0 \
b^2 + 30b - 136 = 0
]
Дискриминант:
[
D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-136) = 900 + 544 = 1444
]
(\sqrt{1444} = 38), тогда:
[
b = \frac{-30 \pm 38}{2}
]
У нас два значения:
[
b = \frac{8}{2} = 4 \quad (первое \quad решение) \quad b = \frac{-68}{2} \quad (отрицательное)
]
Таким образом, когда ( a = 3 ) и ( b = 4 ), число запрограммировано, оно равно ( 10 \cdot 3 + 4 = 34 ).
- Проверим:
[
(34) \cdot 3 \cdot 4 = 102 \cdot 4 = 408
]
Итак, загаданное число — 34.
