текст задачи: "Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он…
Текст задачи: "Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?"
Решим задачу шаг за шагом.
Вова загадал двузначное число. Обозначим это число как \( 10a + b \), где \( a \) — первая (десятковая) цифра, а \( b \) — вторая (единичная) цифра. Поскольку число двузначное, \( a \) может принимать значения от 1 до 9, а \( b \) — от 0 до 9.
Согласно условию задачи, Вова выполняет такие действия:
- Умножает загаданное число на первую цифру: \[ (10a + b) \cdot a \]
- Затем результат умножает на вторую цифру: \[ ((10a + b) \cdot a) \cdot b = 408 \]
Теперь запишем уравнение: \[ (10a + b) \cdot a \cdot b = 408 \]
Распишем это уравнение: \[ 10a^2b + ab^2 = 408 \]
Теперь нам нужно подставить возможные значения \( a \) и \( b \). Поскольку \( a \) и \( b \) являются целыми числами, давайте попробуем перебрать значения для \( a \) от 1 до 9, и для каждого \( a \) подберем возможные значения \( b \) от 0 до 9.
Перебор значений:
Для \( a = 1 \): \[ 10 \cdot 1^2 b + 1 \cdot b^2 = 408 \\ 10b + b^2 = 408 \longrightarrow b^2 + 10b - 408 = 0 \] Решим это уравнение. Дискриминант: \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-408) = 100 + 1632 = 1732 \] Поскольку D не является полным квадратом, \( b \) нецелое.
Для \( a = 2 \): \[ 10 \cdot 2^2 b + 2 \cdot b^2 = 408 \\ 40b + 2b^2 = 408 \longrightarrow 2b^2 + 40b - 408 = 0 \\ b^2 + 20b - 204 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-204) = 400 + 816 = 1216 \] Не является полным квадратом.
Для \( a = 3 \): \[ 10 \cdot 3^2 b + 3 \cdot b^2 = 408 \\ 90b + 3b^2 = 408 \longrightarrow 3b^2 + 90b - 408 = 0 \\ b^2 + 30b - 136 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-136) = 900 + 544 = 1444 \] \(\sqrt{1444} = 38\), тогда: \[ b = \frac{-30 \pm 38}{2} \] У нас два значения: \[ b = \frac{8}{2} = 4 \quad (первое \quad решение) \quad b = \frac{-68}{2} \quad (отрицательное) \]
Таким образом, когда \( a = 3 \) и \( b = 4 \), число запрограммировано, оно равно \( 10 \cdot 3 + 4 = 34 \).
- Проверим: \[ (34) \cdot 3 \cdot 4 = 102 \cdot 4 = 408 \]
Итак, загаданное число — 34.
