Чтобы решить систему уравнений:
- ( x + y = 2 )
- ( x^2 - y^2 = 100 )
мы можем воспользоваться методом подстановки. Начнем с того, что выразим ( y ) через ( x ) из первого уравнения и затем подставим это значение во второе уравнение.
Шаг 1: Выражаем ( y ) через ( x )
Из первого уравнения можно выразить ( y ):
[
y = 2 - x
]
Шаг 2: Подставляем ( y ) во второе уравнение
Теперь подставим найденное выражение для ( y ) во второе уравнение:
[
x^2 - (2 - x)^2 = 100
]
Раскроем скобки во втором уравнении. Напомним, что ((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2):
[
(2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2
]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
[
x^2 - (4 - 4x + x^2) = 100
]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Упростим уравнение:
[
x^2 - 4 + 4x - x^2 = 100
]
Сократим ( x^2 ):
[
4x - 4 = 100
]
Шаг 4: Переносим и решаем
Теперь добавим 4 к обеим сторонам:
[
4x = 104
]
Делим обе стороны на 4:
[
x = 26
]
Шаг 5: Находим ( y )
Теперь подставим найденное значение ( x ) обратно в уравнение для ( y ):
[
y = 2 - x = 2 - 26 = -24
]
Шаг 6: Итоговый ответ
Таким образом, мы нашли решение системы уравнений:
[
\begin{cases}
x = 26 \
y = -24
\end{cases}
]
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения обоим уравнениям:
Подставляем в первое уравнение:
( 26 + (-24) = 2 ) — верно.
Подставляем во второе уравнение:
( 26^2 - (-24)^2 = 676 - 576 = 100 ) — верно.
Ответ: ( x = 26 ), ( y = -24 ).
