Решите способом подстановки систему уравнений: x+y=2 x²- y² = 100
Чтобы решить систему уравнений:
- \( x + y = 2 \)
- \( x^2 - y^2 = 100 \)
мы можем воспользоваться методом подстановки. Начнем с того, что выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения и затем подставим это значение во второе уравнение.
Шаг 1: Выражаем \( y \) через \( x \)
Из первого уравнения можно выразить \( y \):
\[ y = 2 - x \]
Шаг 2: Подставляем \( y \) во второе уравнение
Теперь подставим найденное выражение для \( y \) во второе уравнение:
\[ x^2 - (2 - x)^2 = 100 \]
Раскроем скобки во втором уравнении. Напомним, что \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\[ (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2 \]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
\[ x^2 - (4 - 4x + x^2) = 100 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Упростим уравнение:
\[ x^2 - 4 + 4x - x^2 = 100 \]
Сократим \( x^2 \):
\[ 4x - 4 = 100 \]
Шаг 4: Переносим и решаем
Теперь добавим 4 к обеим сторонам:
\[ 4x = 104 \]
Делим обе стороны на 4:
\[ x = 26 \]
Шаг 5: Находим \( y \)
Теперь подставим найденное значение \( x \) обратно в уравнение для \( y \):
\[ y = 2 - x = 2 - 26 = -24 \]
Шаг 6: Итоговый ответ
Таким образом, мы нашли решение системы уравнений:
\[ \begin{cases} x = 26 \\ y = -24 \end{cases} \]
Проверим, удовлетворяют ли найденные значения обоим уравнениям:
Подставляем в первое уравнение: \( 26 + (-24) = 2 \) — верно.
Подставляем во второе уравнение: \( 26^2 - (-24)^2 = 676 - 576 = 100 \) — верно.
Ответ: \( x = 26 \), \( y = -24 \).
