Задание 7. В крупном отделе компании 6 человек получают зарплату 75 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 90 тыс. р., 8 человек получают по 125 тыс. р, и 3 человека – по 140 тыс. р.
Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 215 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей
Чтобы найти наибольшую возможную медианную выплату, необходимо сначала разобраться с исходными данными и тем, как распределить премии.
### Шаг 1: Определим базовые зарплаты
Имеем следующую структуру зарплат:
- 6 человек получают 75 тыс. р.
- 10 человек получают 90 тыс. р.
- 8 человек получают 125 тыс. р.
- 3 человека получают 140 тыс. р.
### Шаг 2: Расчислим общее количество сотрудников
Общая численность сотрудников:
\[ 6 + 10 + 8 + 3 = 27 \]
### Шаг 3: Определим медиану без премии
Для нахождения медианы необходимо упорядочить зарплаты по возрастанию:
- 6 человек по 75 тыс. р.: 75, 75, 75, 75, 75, 75
- 10 человек по 90 тыс. р.: 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90
- 8 человек по 125 тыс. р.: 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125
- 3 человека по 140 тыс. р.: 140, 140, 140
Теперь распределим их по порядку:
\[ 75, 75, 75, 75, 75, 75, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 140, 140, 140 \]
Среди 27 сотрудников медиана будет находиться на позиции:
\[ \frac{27 + 1}{2} = 14 \text{ (положение медианы)} \]
14-я зарплата в упорядоченном списке – это 90 тыс. р.
Таким образом, медиана без премии составляет 90 тыс. р.
### Шаг 4: Как распределить премии
Совет директоров выделил 215 тыс. р. на премирование. Для того чтобы повысить медиану, нужно максимизировать выплаты тем, кто находится в центральной части распределения.
### Шаг 5: Попробуем различные варианты
- **Распределим премии прежде всего среди тех, у кого зарплата 90 тыс. р.**:
Посмотрим, как это сделает с медианой. Если, скажем, 10 сотрудников, получающих 90 тыс. р., получат по 21,5 тыс., то их зарплата станет:
\[ 90 + 21,5 = 111,5 \text{ (примерно 112 тыс. р.)} \]
В этом случае они будут занимать позиции 7-16, и следовательно медиана будет уже 112 тыс. р., так как 14 позиция в новом списке будет превышать 90.
### Шаг 6: Проверка на максимизацию медианы
- **Распределим премии так, чтобы повысить зарплаты 90 тыс. р. до 140 тыс. р.**:
Если мы распределим все 215 тыс. р. на первых 10 получателей 90 тыс. р.:
\[ 10 \times (140 - 90) = 500 тыс. р.\]
Это больше, чем у нас есть, но даже если выделить 10 только по 21,5 тыс. р., вы уже получите 112 тыс. р.
### Вывод
В итоге, если мы полностью распределим премии на сотрудников с зарплатой 90 тыс. р., получится, что:
Распределив более 140 или ниже по 75 или 90 тыс. р., нашей медианой опустится ниже 112 тыс. р.
Поэтому **наибольшая возможная медианная выплата составляет 112 тыс. р.**, что соответствует
**Ответ: 112** (тыс. рублей).
